Seja z(t) = f(x(t), y(t)) , onde f é diferenciável no plano e x(t), y(t) são deriváveis num intervalo ] a, b [

(b) Derive z(t) para os casos:

(ii) z = x / y onde x = e^(-t) e y = ln(t) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função z em relação a t , ou seja, vamos calcular d z d t .

Pra isso, como a nossa função é uma função composta, que depende de x ( t ) e y ( t ) , vamos precisar usar a Regra da Cadeia na derivação. Então, vamos usar a regra da cadeia na forma:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t  

Sacou? Nós vamos derivar z = x y parcialmente em relação a x e em relação a y , para obter ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , respectivamente. E vamos derivar x = e - t , y = ln ⁡ t , em relação a t , para obter d x d t e d y d t .

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

z = x y

Derivando ela parcialmente em relação a x , temos:

∂ z ∂ x = 1 y

Da mesma forma, derivando parcialmente em relação a y , temos:

∂ z ∂ y = - x y 2

Passo 3

Agora derivando a equação paramétrica x = e - t em relação a t , temos:

d x d t = - e - t

E derivando a segunda equação paramétrica, y = ln ⁡ t , em relação a t , temos:

d y d t = 1 t

Passo 4

Então, juntando tudo na fórmula da regra da cadeia, vista no passo 1 , teremos:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t  

d z d t = 1 y ∙ - e - t + - x y 2 ∙ 1 t

Logo,

d z d t = - 1 y e - t - x y 2 t

Não é necessário substituir as expressões por x e y em termos de t . Porque essa derivada pode ser interpretada como a taxa de variação de z com relação a t quando o ponto ( x ,   y ) se move ao longo da curva C   com equações paramétricas x = 2 t e y = t 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- 1 y e - t - x y 2 t

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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