Use a Regra da Cadeia e calcule dz/dt (em função da variável t ).

z(x, y) = raiz(x^2 + y^2), x(t) = e^(2t) e y(t) = e^(-2t)

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Primeiro, vamos destacar aqui as informações que já temos

z x , y = x 2 + y 2

x t = e 2 t

y t = e - 2 t

E o enunciado pede para a gente calcular:

d z d t t

Porém, reparem que a nossa função não está em função de t . Então aqui teremos que fazer a nossa regra da cadeia. Para isso, vamos usar a seguinte relação:

d z d t = d z d x × d x d t + d z d y × d y d t

Passo 2

Show, vamos começar calculando cada derivada. Começando pela função z :

d z d x = x x 2 + y 2

d z d y = y x 2 + y 2

Agora calculando as derivadas da função x t   e   y ( t ) :

d x d t = 2 e 2 t

d y d t = - 2 e - 2 t

Jogando tudo na fórmula:

d z d t = x x 2 + y 2 × 2 e 2 t + y x 2 + y 2 × - 2 e - 2 t

Ok, mas ainda não acabamos. Reparem que ainda temos x e y na função. Vamos ter que substituir:

d z d t = e 2 t e 2 t 2 + e - 2 t 2 × 2 e 2 t + e - 2 t e 2 t 2 + e - 2 t 2 × - 2 e - 2 t

d z d t = 2 e 4 t - 2 e - 4 t e 4 t + e - 4 t

Resposta

d z d t = 2 e 4 t - 2 e - 4 t e 4 t + e - 4 t

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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