Seja uma função de classe . Sabe-se que
Para todo
E que a parábola
Está contida na curva de nível de . Determine .
Passo 1
Sabemos que a parábola está contida na curva de nível 16 da nossa função.
Parametrizando essa parábola, temos
Ou seja,
Assim, dizer que a parábola ta contida na curva de nível 16 de , é o mesmo que dizer que
Derivando essa equação em relação a :
Porque o vetor gradiente é perpendicular a curva de nível da função, por isso esse produto escalar tem que dar zero.
Ok, como temos a parametrização de , podemos calcular :
Ou seja:
Passo 2
Mas nós queremos né, então vamos descobrir a que tempo isso corresponde:
Bem, temos então que
Passo 3
Substituindo na equação que achamos antes:
Beleza, vamos guardar essa equação.
Passo 4
A outra informação que a questão deu pra gente foi que
Ou seja, nossa é uma função composta , onde
Usando a regra da cadeia para derivar :
Mas, a gente tem a expressão da composta, então a gente também pode calcular a derivada em relação a direto:
Igualando as duas expressões, temos
Passo 5
Aqui, também precisamos achar qual o valor de que corresponde ao ponto . Assim, como queremos , temos que ter
Igualando as coordenadas, encontramos que
Substituindo isso na equação do passo anterior:
Agora já temos duas equações envolvendo , logo, já da pra descobrir quem é ele.
Passo 6
As duas equações que achamos foram:
Se substituirmos
Teremos um sistema com duas equações e duas incógnitas, logo:
Isolando na primeira equação:
E substituindo na segunda:
Encontramos que
E assim
“Ou seje”