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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

A temperatura em certo ambiente é modelada por T x , y , z = e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 em Kelvin.

a) Considerando direções uniárias, qual a maior taca de resfriamente, ou seja, taxa de variação mais negativa da temperatura no ponto (0, 1, 1)?

b) Uma andorinha move-se na trajetória c t = - 5 t ,   c o s t ,   e - t , onde t denota o tempo. Qual a taxa de variação da temperatura sentida pela andorinha quando ela passa por (0, 1, 1)?

c) O valor encontrado no item (b) é menor (mais negativo) que o encontrado no item (a). Porque isso não contradiz o fato de a taxa de variação no item (a) ser de maior resfriamente?

Passo 1

a) Como estamos procurando pela maior taxa de resfriamente, vamos fazer a primeira derivada em relação a x, y e z e aplicar no ponto (0,1,1).

∇ T x , y , z =

∂ e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 ∂ x ,   ∂ e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 ∂ y ,   ∂ e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 ∂ z  

∂ e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 ∂ x = e y - 1 × z × cos ⁡ x z

∂ e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 ∂ y = e y - 1 s e n x z + 2 y z 6 1 + y 2 z 6

∂ e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 ∂ z = x e y - 1 cos ⁡ x z + 6 y 2 z 5 1 + y 2 z 6

∇ T x , y , z = e y - 1 × z × cos ⁡ x z ; e y - 1 s e n x z + 2 y z 6 1 + y 2 z 6 ; x e y - 1 cos ⁡ x z + 6 y 2 z 5 1 + y 2 z 6

Passo 2

Tranquilo (mais ou menos, né? Derivadas chatinhas haha) agora basta a gente aplicar ao ponto e ver quanto vale o módulo disso aí.

∇ T 0,1 , 1 = e 1 - 1 × 1 × cos ⁡ 0 ; e 1 - 1 s e n 0 + 2 × 1 1 + 1 ; 0 e 1 - 1 cos ⁡ 0 + 6 × 1 1 + 1

∇ T 0,1 , 1 = ( 1,1 , 3 )

Tirando então o módulo temos:

∇ T 0,1 , 1 = 1 2 + 1 2 + 3 2 = 11

Mas observa que ele quer a taxa de variação mais negativa. Logo, queremos esse valor negativo!

- 11

Passo 3

b) Primeiramente precisamos descobrir em qual instante t a andorinha passa pelo ponto (0,1,1).

c t = - 5 t ,   c o s t ,   e - t = 0,1 , 1

- 5 t = 0 cos ⁡ t = 1 e - t = 1 → t = 0

Bom, a função que nos dá a temperatura é T x , y , z = e y - 1 s e n x z + ln ⁡ 1 + y 2 z 6 ,   mas a temperatura sentida pela andorinha nos vai ser dada por T c t . No entanto, nós estamos interessados na variação! Ou seja, primeira derivada!!

d T c t d t = ∇ T x , y , z . c ' ( t )

Observa que na derivada ainda temos o termo c ' ( t ) por conta da regra da cadeia que devemos aplicar!

Passo 4

c t = - 5 t ,   c o s t ,   e - t

c ' t = - 5 ,   - s e n t ,   - e - t

Mas queremos no instante t = 0 .

c ' 0 = - 5 ,   0 ,   - 1

Aplicando esse valor no instante zero na nossa fórmula da variação de temperatura temos:

d T c 0 d t = ∇ T 0,1 , 1 . c ' 0 = 1,1 , 3 . - 5,0 , - 1

= 1 × - 5 + 0 × 1 + 3 × - 1

= - 8

Observe que o valor de ∇ T 0 , 1,1   temos da letra (a).

Passo 5

c) O valor encontrado no item (b) é menor (mais negativo) que o encontrado no item (a). Porque isso não contradiz o fato de a taxa de variação no item (a) ser de maior resfriamente?

Bom, isso podia fazer um nó legal na cabeça da galera. - 8 realmente é menor que 11 , no entanto a derivada da função c t , ou seja, a velocidade da andorinha, não é unitária! Por isso não podemos fazer essa análise.

Resposta

a ) - 11

b ) - 8  

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .