A intensidade de um campo elétrico no plano x y é dada por uma função diferenciável E : R^2 → R . Uma partícula de prova passeia ao longo da curva γ(t) = (t^2 + 1, 3t), t ∈ [0, +∞[ . Sabendo que ∂E/∂x (17, 12) = -2 e ∂E/∂y (17, 12) = 2 , a taxa de variação da intensidade do campo que a partícula experimenta no instante t = 4 de seu movimento é de:

a) -10 .

b) -6 .

c) 10 .

d) 6 .

e) 0 .

Passo 1

Fala galera, partiu fazer mais esse probleminha da POLI?

O enunciado fala que o campo elétrico E x ,   y é uma função de duas variáveis e queremos saber como esse campo varia especificamente ao longo da curva γ t = t 2 + 1 ,   3 t . Como γ t = x t ,   y t , temos que:

x t = t 2 + 1               e             y t = 3 t

Assim, se fizermos a composta de E com γ , obtemos uma função f t de uma única variável

f t = E γ t = E t 2 + 1 ,   3 t

É importante que a função seja de uma única variável para que possamos derivar ela com relação ao tempo! A ideia é simples: a posição depende do tempo e o campo depende da posição. Consequentemente, o campo depende exclusivamente do tempo!

Derivando pela regra da cadeia:

d f t d t = ∂ E ∂ x d x d t + ∂ E ∂ y d y d t

Como x = t 2 + 1 e y = 3 t :

d x d t = 2 t               e           d y d t = 3

Portanto,

d f d t t = 2 t ∂ E ∂ x t 2 + 1 ,   3 t + 3 ∂ E ∂ y t 2 + 1 ,   3 t

Passo 2

Agora é só substituir t = 4 :

d f d t 4 = 8 ∂ E ∂ x 17 ,   12 + 3 ∂ E ∂ y 17 ,   12

Pelas informações do enunciado: ∂ E ∂ x 17 ,   12 = - 2 e ∂ E ∂ y 17 ,   12 = 2 . Assim,

d f d t 4 = 8 ⋅ - 2 + 3 ⋅ 2 = - 16 + 6 = - 10

Essa é a taxa de variação do campo, ao longo da curva, em t = 4 ! Com isso chegamos na alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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