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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 14 – Seção 5 – Exercício 45

(Capítulo 14.5 – Exercício 45) Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.

Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que

∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2

Passo 1

Oiii pessoal! Nesse exercício, temos a função z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ

Ou seja, temos uma função de θ dentro de uma função f em x e y

Primeiramente, vamos querer encontrar a derivada parcial de z em relação a r e depois em relação a θ . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, fechou? Isso porque temos uma função dentro da outra

Aí depois vamos querer mostrar que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2

Então boraaa!

Passo 2

a) Vamos derivar z parcialmente em função de r

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r

Substituindo as derivadas de x e y em relação a r :

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

Elevando ao quadrado

∂ z ∂ r 2 = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sen ⁡ θ 2

∂ z ∂ r 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + 2 ∂ z ∂ x cos ⁡ θ ∂ z ∂ y sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ

Como 2 . s e n θ . cos ⁡ θ = s e n ( 2 θ ) :

∂ z ∂ r 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ

Passo 3

Agora vamos derivar z parcialmente em função de θ

∂ z ∂ θ = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ θ

Substituindo as derivadas de x e y em relação a θ :

∂ z ∂ θ = - ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ

Colocando r em evidencia e elevando os dois lados ao quadrado

∂ z ∂ θ = r - ∂ z ∂ x sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y cos ⁡ θ

∂ z ∂ θ ² = r ² - ∂ z ∂ x sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y cos ⁡ θ ²  

∂ z ∂ θ 2 = r 2 ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ - 2 ∂ z ∂ x sen ⁡ θ ∂ z ∂ y cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ

Como 2 . s e n θ . cos ⁡ θ = s e n ( 2 θ ) :

∂ z ∂ θ 2 = r 2 ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ

Dividindo por r 2

1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ

Passo 4

b) Somando agora ∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 , que encontramos nos itens anteriores, podemos ver que os termos ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y sen ⁡ 2 θ se cancelam, então

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + ∂ z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

E por fim, chegamos na relação que queríamos encontrar:

∂ z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ z ∂ θ 2 = ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2

Resposta

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

∂ z ∂ θ = - ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .