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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 2 – 2020.2 – Teste – Exercício 2

Seja

f x ,   y = ln ⁡ 9 - x 2 - 9 y 2

a) Calcule as derivadas parciais f x e f y .

b) A função f é diferenciável em 0 ,   0 ? Justifique sua resposta.

c) Se x t = cos ⁡ t , y t = s e n   t / 3 , e definirmos z t = f x t ,   y t , determine

d z d t

no ponto t = 0 .

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão sobre funções de duas variáveis?

No item (a), basta tomar as derivadas parciais:

f x = ∂ f ∂ x = 1 9 - x 2 - 9 y 2 ⋅ ∂ ∂ x 9 - x 2 - 9 y 2

Daí,

f x = - 2 x 9 - x 2 - 9 y 2

Fazemos o mesmo com relação a y :

f y = ∂ f ∂ y = 1 9 - x 2 - 9 y 2 ⋅ ∂ ∂ y 9 - x 2 - 9 y 2

Portanto,

f y = - 18 y 9 - x 2 - 9 y 2

Passo 2

No item (b), temos que responder se a função f é diferenciável em x ,   y = 0 ,   0 . Para isso, olhamos para as derivadas parciais

f x = - 2 x 9 - x 2 - 9 y 2                   e                 f y = - 18 y 9 - x 2 - 9 y 2

Essas derivadas são funções racionais. Toda função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio, isto é, nos pontos em que o denominador não é zerado. Nesse caso, o denominador não zera para x ,   y = 0 ,   0 , de modo que as derivadas parciais são contínuas nesse ponto.

Como as derivadas parciais são contínuas em 0 ,   0 , podemos afirmar que f é diferenciável nesse ponto.

Passo 3

Para o item (c), vamos usar a regra da cadeia em duas variáveis:

d z d t = d d t f x t ,   y t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

Em t = 0 , temos que

x 0 = cos ⁡ 0 = 1             e           y 0 = s e n   0 3 = 0

Logo,

d z d t 0 = ∂ f ∂ x 1 ,   0 ⋅ d x d t 0 + ∂ f ∂ y 1 ,   0 ⋅ d y d t 0

Já calculamos as derivadas parciais no passo 1:

∂ f ∂ x 1 ,   0 = - 2 ⋅ 1 9 - 1 - 9 ⋅ 0 = - 1 4

∂ f ∂ y 1 ,   0 = - 18 ⋅ 0 9 - 1 - 9 ⋅ 0 = 0

Além disso,

d x d t = - s e n   t → d x d t 0 = 0

Com isso,

d z d t 0 = - 1 4 ⋅ 0 + 0

Logo,

d z d t 0 = 0

Problema resolvido 😊!

Resposta

f x = - 2 x 9 - x 2 - 9 y 2

f y = - 18 y 9 - x 2 - 9 y 2

f é diferenciável em 0 ,   0

d z d t 0 = 0

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