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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja

z = cos ⁡ x + 4 y

x = 5 t 4

y = 1 t

Encontre ∂ z ∂ t .

Passo 1

Fazendo

z = f x , y = cos ⁡ x + 4 y

O que temos ai é:

f = f x , y

x t = 5 t 4

y t = 1 t

⇒ f t = f x t , y t

Então, pelo caso I da Regra da Cadeia, sabemos que

d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

Assim, tudo o que precisamos é calcular essas derivadas parciais do lado direito e substituí-las.

Passo 2

Vamos lá. Começando pelas derivadas parciais de f (ou z , como preferir):

z = f x , y = cos ⁡ x + 4 y

Então:

∂ f ∂ x = - sen ⁡ x + 4 y ∙ 1 = - sen ⁡ x + 4 y

∂ f ∂ y = - sen ⁡ x + 4 y ∙ 4 = - 4 sen ⁡ x + 4 y

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t :

x t = 5 t 4 ⇒ d x d t = 20 t 3

E

y t = 1 t ⇒ d y d t = - 1 t 2

Passo 4

Agora é só substituir tudo na fórmula:

d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

d f d t = - sen ⁡ x + 4 y ⋅ 20 t 3 - 4 sen ⁡ x + 4 y ⋅ - 1 t 2

Beleza, agora muita calma nessa hora!

Chegamos numa expressão que tem x , y e t . Mas, na verdade, x e y são funções de t também. E, como o que estamos calculando, é a derivada em relação a t vamos deixar tudo tem que estar em função de t . Assim, ainda temos que substituir x e y por suas expressões em função de t . Assim:

d f d t = - sen ⁡ 5 t 4 + 4 t ⋅ 20 t 3 + sen ⁡ 5 t 4 + 4 t ⋅ 4 t 2

d f d t = 4 t 2 - 20 t 3 sen ⁡ 5 t 4 + 4 t

“AHHH, mas a questão pediu pra achar ∂ z ∂ t e não ∂ f ∂ t ”

Calma, jovem! Lembra que no inicio fizemos z = f x , y ?

Então o que nós achamos é ∂ z ∂ t !

Resposta

d z d t = 4 t 2 - 20 t 3 sen ⁡ 5 t 4 + 4 t

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .