Use a regra da cadeia para achar d / dt f(λ(t)) onde f(x, y) = 2 * x^2 + 3 * y^2 + 4 * x * y e λ(t) = (x(t), y(t)) = (t^2, cos(t))

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Primeiro, vamos destacar aqui as informações que já temos

f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x y

λ t = x t , y t = t 2 , cos ⁡ t

E o enunciado pede para a gente calcular:

d d t f ( λ t )

Porém, reparem que a nossa f não está em funç��o de t . Então aqui teremos que fazer a nossa regra da cadeia. Para isso, vamos usar a seguinte relação:

d f d t = d f d x × d x d t + d f d y × d y d t

Show, vamos começar calculando cada derivada.

Passo 2

Começando pela função f :

d f d x = 4 x + 4 y

d f d y = 6 y + 4 x

Agora calculando as derivadas da função λ ( t ) :

d x d t = 2 t

d y d t = - s e n t

Passo 3

Jogando tudo na fórmula:

d f d t = d f d x × d x d t + d f d y × d y d t

d f d t = ( 4 x + 4 y ) × ( 2 t ) + ( 6 y + 4 x ) × - s e n t

d f d t = 8 x t + 8 y t - 6 y s e n t - 4 x s e n ( t )

Porém, podemos substituir aqui:

x t , y t = t 2 , cos ⁡ t

Ficando:

d f d t = 8 t ³ + 8 t c o s ( t ) - 6 s e n t c o s ⁡ ( t ) - 4 t ² s e n ( t )

Resposta

d f d t = 8 t ³ + 8 t c o s ( t ) - 6 s e n t c o s ⁡ ( t ) - 4 t ² s e n ( t )

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados