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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

UNICAMP, Cálculo 2, P1, 2018.1, questão 4

Mostre que qualquer função da forma

z = f x + a t + g ( x - a t )

É uma solução da equação da onda

z t t ' ' = a 2 z x x ' '

Onde a é uma constante.

Passo 1

Bom, se a questão nos deu z , que é uma função de x e t , e chega numa parada que tem a segunda derivada de z em relação a x e em relação a t , então parece uma boa ideia começar calculando essas derivadas, seja lá o que formos fazer com elas...

Então vamos lá, derivada de z em relação a x :

z x , t = f x + a t + g x - a t

z x x , t = δ f x + a t δ x   . x d x + δ g x - a t δ x   . x d x

E isso foi nada mais do que aplicar a regra da cadeia :D coloquei o x d x só pra não parecer muito passo voodoo, mas na real sabemos que a derivada de x em relação a x é 1!

Agora fazemos a mesma coisa, derivando em relação a x de novo:

z x x x , t = δ f x + a t δ x δ x   . 1 + δ g x - a t δ x δ x   . 1

z x x x , t = f ' ' x + a t + g ' ' x - a t

Passo 2

Beleza, agora vamos encontrar as outras derivadas parciais, em relação a t :

z x , t = f x + a t + g x - a t

z t x , t = f ' x + a t   . a t d t + g ' x - a t . - a t d t

E como a derivada de a t em relação a t é a ,

z t x , t = f ' x + a t   . a + g ' x - a t . - a

E derivando novamente,

z t t x , t = f ' ' x + a t   . a . a t d t + g ' ' x - a t . a . - a t d t

z t t x , t = f ' ' x + a t   . a 2 + g ' ' x - a t . a 2

Passo 3

Bom, se tivermos derivado certo, o que ele disse no enunciado tem que valer! Então vamos ver, se pegamos as derivadas parciais em relação a x e em relação a t , devemos verificar que:

z t t = a 2 z x x

Bom, temos que

z t t x , t = f ' ' x + a t   . a 2 + g ' ' x - a t . a 2

e temos que

z x x x , t = f ' ' x + a t + g ' ' x - a t

Então a relação é realmente válida! Já que:

z x x x , t   .   a 2 = a 2 . f ' ' x + a t + a 2 . g ' ' x - a t = z t t x , t

Resposta

z x x x , t   .   a 2 = a 2 . f ' ' x + a t + a 2 . g ' ' x - a t = z t t x , t

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .