Suponha que z = f(x, y) , onde f: R^2 → R é uma função diferenciável verificando

4y * (∂f/∂x)(x, y) - x * (∂f/∂y)(x, y) = 2

Mostre que f é uma função de primeiro grau sobre a elipse x^2 / 4 + y^2 = 1

Sugestão: Use a parametrização da elipse x = 2 cos θ , y = sen(theta) .

Passo 1

Como queremos mostrar que f é uma função do primeiro grau sobre a elipse, vamos começar usando a sugestão e parametrizando a elipse.

x = 2 c o s θ

y = s e n θ

Passo 2

Porém se f está sobre a elipse, então os valores de x e y são dados pela parametrização da elipse. Vamos ter:

z = f x , y = f 2 c o s θ , s e n θ = g θ

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa função g θ :

d g θ d θ = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ θ

Lembrando que:

∂ x ∂ θ = - 2 s e n θ

∂ y ∂ θ = c o s θ

Substituindo:

d g θ d θ = ∂ f ∂ x - 2 s e n θ + ∂ f ∂ y c o s θ

Ajeitando:

d g θ d θ = - 1 2 ∂ f ∂ x 4 s e n θ - ∂ f ∂ y 2 c o s θ

Passo 4

Substituindo x = 2 c o s θ , y = s e n θ , vai ficar:

d g θ d θ = - 1 2 ∂ f ∂ x 4 y - ∂ f ∂ y x

Porém o problema ainda diz que

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2

Substituindo:

d g θ d θ = - 1 2 2 = - 1

Logo, g θ = - θ + C . Ou seja, provamos que a f 2 c o s θ , s e n θ = g θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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