Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Suponha que z = f x , y , onde f : R 2 → R é uma função diferenciável verificando

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2

Mostre que f é uma função de primeiro grau sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1  

Sugestão: Use a parametrização da elipse x = 2 c o s θ , y = s e n θ .

Passo 1

Como queremos mostrar que f é uma função do primeiro grau sobre a elipse, vamos começar usando a sugestão e parametrizando a elipse.

x = 2 c o s θ

y = s e n θ

Passo 2

Porém se f está sobre a elipse, então os valores de x e y são dados pela parametrização da elipse. Vamos ter:

z = f x , y = f 2 c o s θ , s e n θ = g θ

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa função g θ :

d g θ d θ = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ θ

Lembrando que:

∂ x ∂ θ = - 2 s e n θ

∂ y ∂ θ = c o s θ

Substituindo:

d g θ d θ = ∂ f ∂ x - 2 s e n θ + ∂ f ∂ y c o s θ

Ajeitando:

d g θ d θ = - 1 2 ∂ f ∂ x 4 s e n θ - ∂ f ∂ y 2 c o s θ

Passo 4

Substituindo x = 2 c o s θ , y = s e n θ , vai ficar:

d g θ d θ = - 1 2 ∂ f ∂ x 4 y - ∂ f ∂ y x

Porém o problema ainda diz que

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2

Substituindo:

d g θ d θ = - 1 2 2 = - 1

Logo, g θ = - θ + C . Ou seja, provamos que a f 2 c o s θ , s e n θ = g θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .