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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 14 – Seção 5 – Exercício 25

(Capítulo 14.5 – Exercício 25) Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

N = p + q p + r ,             p = u + v w ,             q = v + u w ,             r = w + u v ;

∂ N ∂ u ,     ∂ N ∂ v ,                 ∂ N ∂ w               q u a n d o   u = 2 ,         v = 3 ,           w = 4

Passo 1

Oiii gente, vamos lá?

Vamos começar entendendo essa doideira que o enunciado deu pra gente

Repara que N é função de p , q e r . Mas estes são funções de u , v e w . Desta forma, N é uma função composta N p u , v , w , q u , v , w , r u , v , w

E aí queremos calcular as derivadas parciais

∂ N ∂ u ,     ∂ N ∂ v ,                 ∂ N ∂ w               q u a n d o   u = 2 ,         v = 3 ,           w = 4

Essas derivadas vão ser dadas assim, pela regra da cadeia

∂ N ∂ u = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ u + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ u + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ u

∂ N ∂ v = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ v + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ v + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ v

∂ N ∂ w = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ w + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ w + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ w

Então vamos lá?

Passo 2

Pra começar, vamos fazer as derivadas com relação a p , q e r , pra aí depois já termos tudo prontinho pra substituir nas expressões do passo 1

∂ N ∂ p = p + r - p - q p + r 2 = r - q p + r 2

∂ N ∂ q = p + r p + r 2 = 1 p + r

∂ N ∂ r = - p + q p + r 2

Quando u = 2 , v = 3 e w = 4 , temos que

p = 2 + 12 = 14

q = 3 + 8 = 11

r = 4 + 6 = 10

Assim,

∂ N ∂ p = - 1 576

∂ N ∂ q = 1 24

∂ N ∂ r = - 25 576

Passo 3

Agora vamos fazer as derivadas de p , q e r com relação a u , v e w , quando u = 2 , v = 3 e w = 4

∂ p ∂ u = 1 ,           ∂ p ∂ v = w = 4             e                 ∂ p ∂ w = v = 3

∂ q ∂ u = w = 4 ,           ∂ q ∂ v = 1             e                 ∂ q ∂ w = u = 2

∂ r ∂ u = v = 3 ,           ∂ r ∂ v = u = 2           e                 ∂ r ∂ w = 1

Showww, agora já temos tudo que precisamos pra substituir nas expressões do passo 1 :D

Passo 4

Portanto,

∂ N ∂ u = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ u + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ u + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ u

∂ N ∂ u = - 1 576 ⋅ 1 + 1 24 ⋅ 4 - 25 576 ⋅ 3

Logo,

∂ N ∂ u = 20 576 = 10 288 = 5 144

Analogamente,

∂ N ∂ v = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ v + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ v + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ v

∂ N ∂ v = - 1 576 ⋅ 4 + 1 24 ⋅ 1 - 25 576 ⋅ 2

Portanto,

∂ N ∂ v = - 30 576 = - 15 288 = - 5 96

Por fim,

∂ N ∂ w = ∂ N ∂ p ⋅ ∂ p ∂ w + ∂ N ∂ q ⋅ ∂ q ∂ w + ∂ N ∂ r ⋅ ∂ r ∂ w

∂ N ∂ w = - 1 576 ⋅ 3 + 1 24 ⋅ 2 - 25 576 ⋅ 1

∂ N ∂ w = 20 576 = 10 288 = 5 / 144

E fimmm!

Resposta

∂ N ∂ u = 5 144

∂ N ∂ v = - 5 96

∂ N ∂ w = 5 144

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .