UFJF. Física 1. Prova AV2. 2015.2. Questão 4.
4 – Responda cada um dos itens:
a) Numa colisão totalmente inelástica entre dois corpos de massa e , onde está em repouso, qual deve ser a relação entre as massas e para que a velocidade final seja da velocidade inicial?
b) Considere uma colisão entre dois corpos ( e ) de massas iguais. O corpo está inicialmente em repouso. Após a colisão, a velocidade de cada um deles será necessariamente menor que a velocidade inicial do corpo . Ou seja, as constantes definidas como e são necessariamente menores que . Nestas definições os índices e (inicial e final) se referem às situações antes e depois da colisão respectivamente. Qual deve ser a relação entre as constantes e para que a colisão seja totalmente elástica?
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema temos dois cenários diferentes, em um temos uma colisão totalmente inelástica e em outra temos uma colisão totalmente elástica.
Sabe diferencias essas duas colisões? 🤔🤔
A colisão totalmente elástica é uma colisão ideal e não acontece perda de energia. Nesse caso a energia mecânica do sistema se conserva e também o momento linear se conserva.
Em colisões totalmente inelásticas acontece perda de energia e no momento da colisão de dois objetos, ocorre a junção desses dois objetos e eles passam a se mover como um único objeto, mas aqui o momento linear antes da colisão é igual ao momento linear depois da colisão.
Agora estamos aptos a começar?
Bora lá! 😁
Passo 2
No item a) é o caso em que ocorre uma colisão totalmente inelástica entre dois corpos de massas e (que está inicialmente em repouso) e nosso objetivo é calcular a razão entre essas massas para que a velocidade final seja da velocidade inicial.
No passo anterior vimos que após a colisão, os corpos grudam em se movem juntos com a mesma velocidade e o momento linear se conserva.
Então inicialmente nosso momento linear é dado por
Como a massa está em repouso, ela não possui momento.
Agora depois da colisão o momento linear é dado considerando as massas como uma só, ou seja
Se , então
Foi dito que a velocidade final tem que ser da velocidade inicial, logo
Substituindo na equação...
Simplificando a equação cortando dos dois lados e multiplicando os dois lados por , temos
Isolando em um lado da equação...
Com isso encontramos que a razão entre as massas e para que a velocidade final do sistema seja da velocidade inicial é de .
Legal, né? 😎
Passo 3
No item b) a colisão é completamente elástica, ou seja, energia mecânica e o momento linear se conservam.
Dois corpos de massas iguais se colidem onde um corpo tem uma velocidade inicial e um corpo está em repouso. Após a colisão o corpo está a uma velocidade e o corpo a uma velocidade .
Com essas velocidades, podemos definir duas constantes e onde
Qual é a relação entre essas constantes se a colisão é perfeitamente elástica?
Como as massas são iguais vamos dizer que
Se a colisão é perfeitamente elástica
A energia mecânica inicial é dada somente pela energia cinética do corpo , ou seja
Já no fim, a energia mecânica será a soma das energias cinéticas de e
Igualando as duas equações, temos
Bora manipular essa nova equação para obter a relação entre e ! 😉
Passo 4
Colocando em evidência nos dois lados, vemos que podemos cortá-los para simplificar nosso problema
Passando dividindo o outro lado, temos
Vamos simplificar a equação mais uma vez tirando a raiz dos dois lados para eliminar o expoente das variáveis. Mas antes, temos que considerar o modulo dos dois lados pois não seria possível tirar a raiz de por conta do sinal negativo.
Como , então
Assim podemos cortar a raiz com o expoente já que
Mas o que é e ? Não são as constantes e ? 🤔🤔
Bacana, não é? Descobrimos que elas são iguais em módulo!
Então essa é a relação entre e que tínhamos que encontrar.
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
a)
b)