Aplique separação de variáveis na equação diferencial parcial com condições de contorno abaixo, e encontre as soluções diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo as variáveis e , com as respectivas condições de contorno. (Obs: não é necessário resolver as EDOs.)
para
Passo 1
Como sempre, temo que fazer a separação de variáveis. Mas essa EDO parcial aqui é meio diferente do que já vimos, né? Não importa, o passo a passo é o mesmo!
Vamos supor que a função que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável por outra apenas da variável , dessa forma:
Vamos procurar uma solução dessa forma, com as variáveis separadas. Ok, tem que satisfazer a EDO, né?
Então, vamos substituí-la ai! Vamos com calma, ok? Temos:
Repare que, derivando em relação a , é vista como constante, o mesmo ocorre para quando derivamos em relação a .
Passo 2
Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem e do outro tudo que tem :
Como essa igualdade deve valer para todo e para todo e essas variáveis são independentes, sabemos que é uma constante.
Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:
Passo 3
Agora vamos separar as variáveis nas condições problema, fazendo :
Veja que se , isso implica que , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter . O mesmo ocorre aqui:
Passo 4
O problema pede as EDO’s nas variáveis e com suas respectivas condições de contorno, então vamos reescrever o que encontramos.
Temos o problema de contorno
E a EDO em :
Como a questão não pede a resolução, paramos por aqui.