Encontre todas as soluções da forma do problema:
Passo 1
Ok, como o enunciado sugeriu, vamos aplicar o método da separação de variáveis:
Assim, precisamos substituir essa identidade na EDP:
Então vamos calcular essas derivadas:
Assim, substituindo temos:
Precisamos deixar tudo que for de um lado e tudo que for do outro. Para isso, colocamos o em evidência e jogamos o resto pro outro lado:
E então separamos as funções:
Como temos funções de e de em lados opostos, o único jeito disto ser verdade para solução não trivial é com os dois valores iguais a uma constante :
Passo 2
A partir dessa relação, conseguimos montar duas EDOs:
E também:
Legal, então teremos duas EDOs para resolver:
Passo 3
Como não temos nenhuma condição de contorno, vamos começar pela mais simples que a com . Essa é uma EDO separável. Para resolvê-la, escrevemos:
E separamos tudo que for (ão) de um lado e tudo que for (zinho) do outro:
Integrando dos dois lados:
Assim, isolando :
Para simplificar, tomamos , ficando:
Passo 4
Vamos agora para a outra EDO. Está também é uma EDO separável, então:
Substituindo, temos:
Separamos tudo que for (ão) de um lado e tudo que for (zinho) do outro:
Integrando dos dois lados, temos:
Definimos e então temos:
Passo 5
Agora justamos os dois resultados:
Definindo :