UFRJ - Sem Campus - Cálculo 4 - Provas Antigas - P2 - 2022.1 - Questão 3
Encontre a solução do seguinte problema de contorno:
onde é a função
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
Nós temos em nosso enunciado um problema de contorno, o enunciado nos dá o intervalo de validade das variáveis e como , ou seja, todo positivo e em um pequeno intervalo. Temos a definição de uma equação diferencial parcial dentro deste intervalo como
Dada uma condição de contorno da forma
Assim como a condição inicial
em que temos e . Para resolver este problema vamos tentar trabalhá-lo utilizando o método de separação de variáveis! Ou seja, vamos considerar que
e buscaremos funções e que resolvam o sistema tendo em vista as condições de contorno e a condição inicial! Vamos começar por aí! Vem comigo!
Passo 2
Para aplicar a equação (4) na equação (1) precisamos derivar a equação (4) parcialmente em e parcialmente em , da seguinte maneira
e, da mesma forma, temos que
Substituindo ambos os resultados e a equação (4) na equação (1), temos que
Para concluir o método de separação de variáveis, vamos dividir ambos os lados da equação acima por , de forma a obter
Ou, separando as variáveis, temos que
A partir desta equação podemos obter soluções para cada uma de nossas funções! Note que temos que um lado depende apenas de e o outro apenas de , você lembra o que fazer nestas condições? Vem cá que te conto!
Passo 3
Como cada lado da equação (5) depende de uma variável independente, temos que ambos os lados devem ser iguais a uma mesma constante, portanto, a equação (5) é equivalente a um sistema de duas equações diferenciais da seguinte forma
e também temos que
Vamos buscar soluções para ambas as equações (6) e (7) e aplicar as condições de contorno e a condição inicial! Bora lá!
Passo 4
Começando com a equação (6), podemos reescrevê-la um pouquinho como
ou, colocando todo mundo do lado esquerdo da equação, temos
A equação (8) é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, nós podemos resolver este tipo de EDO obtendo raízes do seguinte polinômio característico
Vamos primeiro analisar o caso em que , teremos duas raízes reais e distintas da forma
E, podemos escrever a solução de nossa equação diferencial como
Ainda precisamos encontrar quem são as constantes e e para isso, precisaremos utilizar a condição de contorno! Saca só!
Passo 5
A equação (2) nos diz que
Ou seja, temos que usando a equação (4), podemos escrever
Note que considerar é uma solução trivial, portanto, é preferível considerar a condição . Podemos fazer o mesmo para a outra condição de contorno
e da mesma forma, temos que . Aplicando ambas condições na equação (9), temos que
ou, equivalentemente
E, também temos que
Como temos que , a única solução possível aqui é , portanto, e esta é uma solução trivial! Ou seja, indesejada! Vamos avaliar as diferentes possibilidades para agora!
Passo 6
Temos que para , o polinômio característico nos dá raízes da forma
está é uma raíz de multiplicidade 2, e portanto, a solução pode ser escrita como
Aplicando as condições iniciais e , temos que
e, também temos que
De forma, que novamente, , e novamente, uma solução trivial, só nos resta uma alternativa! Vamos tentar !
Passo 7
Considerando iremos obter raízes da forma
Que nos resulta em uma solução da forma
Se aplicarmos novamente as condições iniciais, temos que
e também que
Em que nos dá a solução trivial! Mas, temos que nos dá um conjunto de soluções possíveis! Ou seja, temos que
Ou seja, temos uma solução da forma
Como apenas achamos uma solução não trivial para é válido encontramos a solução para utilizando a equação (7) apenas para este caso! Vamos fazer isso!
Passo 8
Relembrando a equação (7), e usando , temos que
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem separável, e podemos reescrevê-la da seguinte forma
Ou, multiplicando os dois lados por , temos que
Que pode ser integrada em ambos os lados, resultando em
Aplicando a função exponencial de ambos os lados, temos que
Vamos escrever então a nossa solução !
Passo 9
Se utilizarmos a equação (4), que diz que , temos que podemos escrever
Ou, pelo princípio da superposição, temos que
Para encontrar os parâmetros precisamos aplicar as condições iniciais que estão na forma , em que e . Aplicando isto na solução obtida acima, temos que tem dois formatos dependendo de seu intervalo
Ou, temos que
Em ambos os intervalos temos que será o coeficiente de uma série de Fourier, em particular, o coeficiente relacionado à função seno. Vamos calcular estes coeficientes e dizer adeus a este problema!
Passo 10
Temos que o coeficiente é dado por
Nós temos que para o intervalo , , portanto, temos que . No entanto, para o intervalo , temos que e , ou seja, devemos resolver a seguinte integral
Integrais que são polinômios vezes uma função trigonometria usualmente são convenientemente resolvidas integrando por partes. Se usarmos a regra do LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinomial, Trigonométrica e Exponencial) para escolhermos a prioridade da escolha de nosso , temos que
e
e também temos que
Se aplicarmos a seguinte fórmulinha para a integração por partes
Obtemos que
A integral restante pode ser identificada diretamente como uma integral conhecida, temos que
Substituindo este resultado na equação (14), temos que
Temos então que
Ou seja, a nossa solução é da seguinte forma
A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!