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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 2b

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

b )   u x , t = x 2 + 2 t ,     ∂ x 2 u = ∂ t u ;

Passo 1

E aí gente bonita do Responde Aí, como é que vocês estão?

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:

∂ x 2 u = ∂ t u

E, precisamos comprovar que a função:

u x , t = x 2 + 2 t

é uma solução da EDP dada.

Pra fazer isso, poderíamos tentar resolver a EDP, mas isso seria bem complicado porque não temos as condições iniciais, nem de fronteira, então iríamos encontrar uma solução muito geral.

Como foi dada uma função pra verificarmos se ela é uma solução, podemos simplesmente substitui-la na EDP e verificar se a equação diferencial permanece válida.

E aí, tudo beleza? Sacaram a ideia?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos a EDP:

∂ x 2 u = ∂ t u

E, queremos substituir u pela função:

u x , y = x 2 + 2 t

Então, pra fazermos isso, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de u . Vamos ter:

Começando pelas derivadas com relação a x :

∂ x u = ∂ x 2 + 2 t ∂ x

= 2 x

Derivando novamente:

∂ x 2 u = ∂ 2 x ∂ x

= 2

Portanto:

∂ x 2 u = 2

Vamos agora para a derivada parcial com relação a t :

∂ t u = ∂ x 2 + 2 t ∂ t

= 2

Portanto: Temos que:

∂ x 2 u = 2 ∂ t u = 2

Ou sejaaa...

∂ x 2 u = ∂ t u

E, de fato a função dada é solução da EDP.

E aí, curtiram a solução? Responde Aí!!

Resposta

Resposta no texto.

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