Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 2d

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

, onde é uma constante.

Passo 1

Olá Olá!!! Tudo certinho por aí?

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:

onde é uma constante.

E, precisamos comprovar que a função:

é uma solução da EDP dada.

Pra fazer isso, poderíamos tentar resolver a EDP, mas isso seria bem complicado porque não temos as condições iniciais, nem de fronteira, então iríamos encontrar uma solução muito geral.

Como foi dada uma função pra verificarmos se ela é uma solução, podemos simplesmente substitui-la na EDP e verificar se a equação diferencial permanece válida.

E aí, tudo beleza? Sacaram a ideia?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos a EDP:

E, queremos substituir pela função:

Então, pra fazermos isso, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de .

Começando pela derivada parcial em relação a , vamos ter:

Usando a regra da cadeia, vamos ter:

Derivando mais uma vez, temos:

Massa! Vamos agora para a derivada com relação a :

Daí, novamente usando a regra da cadeia:

Derivando mais uma vez:

Logo:

Daí agora é só substituirmos esses resultados na nossa EDP:

Que �� o mesmo resultado da EDP dada no enunciado.

Portanto, a função dada é uma solução da EDP.

E aí, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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