Considere a equação de ondas em um meio dispersivo
- Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma e que satisfaçam .
- Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais e sendo uma função contínua em , com derivada seccionalmente contínua em e satisfazendo , determinar a solução .
Passo 1
Letra a)
Primeiro precisamos fazer a separação de variáveis.
Beleza, mas essa não é a Equação de Onda que estamos acostumados a ver, né? Tem um termo ali a mais! E agora? Vamos fazer exatamente o mesmo que temos feito até aqui.
Procuramos uma solução do tipo:
Aplicando isso na Equação de Onda
Agora o que a gente fazia era passar tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, né? Faremos isso:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:
Separando a igualdade em 2 equações, temos:
Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:
Passo 2
Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em :
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Esses são os autovetores correspondentes aos autovalores . Não escrevemos a constante por convenção, lembre-se disso!
Passo 3
Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO
Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior), não precisamos analisar os casos de , olha só:
Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:
As soluções da EDO são do tipo:
Certo? Então temos soluções do tipo onde
Passo 4
Letra b)
Agora temos as condições adicionais
A condição que é uma função, nós deixamos por último. Primeiro, vamos aplicar a separação de variáveis na seguinte condição:
Essa é a condição que temos que usar na solução da EDO em , para nos livramos daquelas constantes arbitrárias. Temos:
Certo? Então podemos escrever:
Agora sim, conseguimos nos livrar das constantes. Esses são os autovetores . Nossa solução fundamental fica:
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Aquelas são as soluções fundamentais que nós encontramos. Nós sabemos que combinações lineares dessa solução também satisfazem a EDO, não é? Bom, com uma série nada mais é do que uma combinação linear, podemos escrever:
Agora vamos usar a condição que faltou:.
Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:
Esse veio do denominador do seno! É o período da série, o comprimento da onda, ok?
Pronto, essa é a solução do problema!
Resposta
Onde