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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 13

Sem usar a fórmula obtida nas notas de aula, determine todas as soluções fatoradas da equação do calor

d t u   =   2 d 2 x u

que se anulam quando x   =   0 e quando x   =   3 .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDP. Nosso objetivo é encontrar as soluções da forma u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) para a função

d t u   =   2 d 2 x u

que se anulam quando x   =   0 e quando x   =   3 .

Lembram como fazemos isso? Substituímos a nossa u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) e suas derivadas parciais na equação diferencial. Vamos nessa

Passo 2

Bem, vamos olhar a nossa equação

d t u   =   2 d 2 x u

Vamos calcular as derivadas parciais de u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) , e depois substituir na equação acima.

d d t u ( x ,   t )   = X ( x ) T ' ( t )

d 2 d x 2 u ( x ,   t )   = X ' ' ( x ) T ( t )

Passo 3

Agora que temos a nossas derivadas parciais, fazemos a substituição em

d t u   =   2 d 2 x u

Fazendo isso obtemos

X ( x ) T ' ( t ) = 2 X ' ' ( x ) T ( t )

Isolando X e T

2 X ' ' ( x ) X ( x ) = T ' ( t ) T ( t )

Bem, temos duas equações em variáveis distintas que são sempre iguais. Isso quer dizer que essas funções são uma constante c . Então teríamos as seguintes EDO´s

T ' ( t ) T ( t ) = k

2 X ' ' ( x ) X ( x ) = k

Passo 4

Vamos obter as soluções das EDO´s que obtemos.

T ' ( t ) T ( t ) = k

⇒ T ' ( t ) = k T ( t )

Mas essa é EDO clássica. Sua solução será:

T ( t ) = C e k t   ,   C ∈ R

E a solução da outra EDO

2 X ' ' ( x ) X ( x ) = k

⇒ X ' ' ( x ) = k X ( x ) / 2

X ' ' ( x ) - k X ( x ) / 2 = 0

Calculando as raízes do polinômio característico dessa EDO

r 2 - k / 2 = 0

⇒ r = k / 2 ,   o u   r = - k / 2

Se k > 0 temos duas raízes distintas, a solução da EDO é:

X ( x ) = c 2 e x k / 2 + c 3 e - x k / 2

Se k = 0 temos duas raízes iguais, e a solução da EDO é:

X ( x ) = c 2 e x k / 2 + c 3 x e x k / 2

Se k < 0 temos duas raízes complexas, e a solução da EDO é:

X ( x ) = c 2 c o s ( x - k / 2 ) + c 3 s i n ( x - k / 2 )

Passo 5

Agora que temos e X ( x ) e T ( t ) podemos levar em consideração as condições de contorno que diz

X ( x ) * T ( t ) se anulam quando x   =   0 e quando x   =   3

Se isso é verdade, então precisamos que

X ( 0 ) T ( t ) = 0

e

X ( 3 ) T ( t ) = 0

Logo se k > 0 , como

X ( x ) = c 2 e x k / 2 + c 3 e - x k / 2

T ( t ) = C e k t   ,   C ∈ R

Então

X ( 0 ) T ( t ) = ( c 2 + c 3 ) ( C e k t ) = 0

⇔ c 2 = - c 3

E temos

X ( 3 ) T ( t ) = ( c 2 e 3 k / 2 + c 3 e - 3 k / 2 ) ( C e k t ) = 0

⇒ - c 3 e 3 k / 2 + c 3 e - 3 k / 2 = 0

⇔ c 3 = 0

Ou seja, chegamos a conclusão que c 2 = c 3 = 0

Mas essa seria a solução trivial do problema. Vamos tentar uma solução específica.

Quando formos verificar a condição para k = 0 , também iremos obter a solução trivial para o problema.

Agora quando k < 0

X ( x ) = c 2 c o s ( x k / 2 ) + c 3 s i n ( x k / 2 )

T ( t ) = C e k t   ,   C ∈ R

Então

X ( 0 ) T ( t ) = ( c 2 ) ( C e k t ) = 0

⇔ c 2 = 0

E temos

X ( 3 ) T ( t ) = ( c 2 c o s ( 3 - k / 2 ) + c 3 s i n ( 3 - k / 2 ) ) ( C e k t ) = 0

⇒ c 3 s i n ( 3 - k / 2 ) = 0

⇔ c 3 = 0

ou

s i n ( 3 - k / 2 ) = 0

⇒ 3 - k / 2 = n π

⇒ - k = 2 n 2 π 2 / 9

Ou seja, achamos uma solução não trivial para - k = 2 n 2 π 2 / 9 . Então a solução geral fica:

X ( x ) T ( t ) = c 3 s i n ( x n π / 3 ) * C e - 2 n 2 π 2 / 9 t

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão 🙂, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

X ( x ) T ( t ) = c 3 s i n ( x n π / 3 ) * C e - 2 n 2 π 2 / 9 t

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