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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

Questão 4: Encontre todas as soluções u da forma u x ,   y = X x Y y do problema

x y u x y + x u x + y u y = 0 ,     x ,   y ∈ ] 0 , ∞ [ × ] 0 , ∞ [

Passo 1

Lembrando então que:

u x y = X ' x Y ' y

u x = X ' x Y y

u y = X x Y ' y

Então...

x y u x y + x u x + y u y = 0   →

x y X ' x Y ' y + x X ' x Y y + y X x Y ' y = 0

Beleza, agora vamos a isolar esse negócio. Venha comigo!

Passo 2

Primeiro vamos melhorar a notação tirando a informação da variável

x y X ' Y ' + x X ' Y + y X Y ' = 0 →

Somando X Y dos dois lados:

x y X ' Y ' + x X ' Y + y X Y ' + X Y = X Y →

Dividindo todo mundo por X Y ...

x y X ' Y ' X Y + x X ' Y X Y + y X Y ' X Y + X Y X Y = X Y X Y →

x y X ' Y ' X Y + x X ' X + y Y ' Y + 1 = 1 →

Se você perceber, esse cara é o produto de:

x X ' X + 1 y Y ' Y + 1 = 1   →

Agora podemos isolar...

x X ' X + 1 = 1 y Y ' Y + 1

Pow, a única forma de essa igualdade ser verdadeira é se ela for igual a uma constante qualquer diferente de 0 :

x X ' X + 1 = 1 y Y ' Y + 1 = λ

Então...

x X ' X + 1 = λ 1 y Y ' Y + 1 = λ   →

X ' X = λ - 1 x 1 λ = y Y ' Y + 1   →

X ' X = λ - 1 x Y ' Y = 1 λ - 1 / y  

Passo 3

Sabendo que X ' = d X d x e que Y ' = d Y d y , podemos meio que passar esses d x e d y para os outros lados das equações onde vamos ganhar...

d X X = λ - 1 x d x d Y Y = 1 λ - 1 y d y

Beleza, agora podemos aplicar a integral aí nessas duas equações e de ambos os lados:

∫ d X X = ∫ λ - 1 x d x ∫ d Y Y = ∫ 1 λ - 1 y d y       →

Integrando...

ln ⁡ X = λ - 1 ln ⁡ x + k 1 ln ⁡ Y = 1 λ - 1 ln ⁡ y + k 2     →

Aplicando a definição de logaritmo aí, teremos...

X = e λ - 1 ln ⁡ x + k 1 Y = e 1 λ - 1 ln ⁡ y + k 2   →

Logo...

X = e ln ⁡ x λ - 1 + k 1 Y = e ln ⁡ y 1 λ - 1 + k 2   →

Sabendo que e a + b = e a e b

X = e k 1 e ln ⁡ x λ - 1 Y = e k 2 e ln ⁡ y 1 λ - 1   →

Considerando e k 1 como uma constante ainda k 1 e fazendo o mesmo para a de baixo, além disso, considerando e ln ⁡ x λ - 1 = x λ - 1 ...

X = k 1 x λ - 1 Y = k 2 y 1 λ - 1

Passo 4

Logo, a solução será de...

u x ,   y = X x Y y   →

u x ,   y = k 1 x λ - 1 k 2 y 1 λ - 1   →

Considerando agora que k 1 ⋅ k 2 = C ...

u x ,   y = C x λ - 1 y 1 λ - 1

Resposta

u x ,   y = C x λ - 1 y 1 λ - 1

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