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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

Seja o problema de valor inicial e de fronteira relativo à equação de onda com força externa:

u t t = u x x + cos ⁡ t sen ⁡ x ,     0 < x < π u 0 , t = u π , t = 0 ,     t ≥ 0 u x , 0 = sen ⁡ x ,     0 < x < π u t x , 0 = 0 ,     0 < x < π

( a ) -Tente uma solução do tipo

u x , t = ∑ n = 1 ∞ u n t sen ⁡ n x ,

Onde u n ( t ) são funções a determinar.

- Para t fixo, ache a expansão de Fourier em senos para h x , t = cos ⁡ t sen ⁡ x

- Substituindo na equação forçada de onda, obtenha, igualando as séries termo a termo, uma equação diferencial de 2 ª ordem não-homogênea para u n ( t ) .

( b ) Utilize a resposta da 2 ª   questão, e determine a solução do PVIF tomando:

f x = sen ⁡ x ,   g x = 0 ,   h x , t = cos ⁡ t sen ⁡ x

Passo 1

( a )

A primeira coisa que precisamos fazer é escrever as derivadas da nossa sugestão de solução.

u x , t = ∑ n = 1 ∞ u n t sen ⁡ n x

u t t = ∑ n = 1 ∞ u n ' ' t sen ⁡ n x u x x = - ∑ n = 1 ∞ u n t n 2 sen ⁡ n x

Como temos:

u t t - u x x = cos ⁡ t sen ⁡ x

Vamos tentar escrever essa diferença de uma forma melhor:

∑ n = 1 ∞ u n ' ' t sen ⁡ n x + ∑ n = 1 ∞ u n t n 2 sen ⁡ n x = ∑ n = 1 ∞ u n ' ' t + u n t n 2 sen ⁡ n x

∑ n = 1 ∞ u n ' ' t + u n t n 2 sen ⁡ n x = ∑ n = 1 ∞ h n t sen ⁡ n x

Então temos que é necessário:

u n ' ' t + u n t n 2 = h n ( t )

Passo 2

( b )

Utilizando a resposta da questão 2 , temos então:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n t + b n sen ⁡ n t + ∫ 0 t h n s 1 n sen ⁡ t - s d s sen ⁡ n x

Satisfazendo as condições iniciais:

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ a n sen ⁡ n x = sen ⁡ x

a n = 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x sen ⁡ n x d x → 0 ,     n ≠ 1 1 ,     n = 1

Agora usando:

u t x , 0 = ∑ n = 1 ∞ n b n sen ⁡ n x = 0

n b n = 2 π ∫ 0 π 0 sen ⁡ n x d x → b n = 0

Cara, sabemos que h x , t = cos ⁡ t sen ⁡ x . A expansão em senos dessa série é justamente o a n . Então a gente pode escrever o seguinte:

h n t = cos ⁡ t 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x sen ⁡ n x d x → 0 ,     n ≠ 1 cos ⁡ t ,     n = 1

Então se a gente substitui o h n na integral (lembrando que n = 1 ):

∫ 0 t h n s 1 n sen ⁡ t - s d s

∫ 0 t cos ⁡ ( s ) sen ⁡ t - s d s = ∫ 0 t sen ⁡ t + sen ⁡ t - 2 s 2 d s

Isso que foi usado aqui em cima é uma propriedade trigonométrica!

cos ⁡ q sen ⁡ p = sen ⁡ p + q + sen ⁡ p - q 2

Voltando:

∫ 0 t sen ⁡ t + sen ⁡ t - 2 s 2 d s = s sen ⁡ t 2 + cos ⁡ t - 2 s 4 0 t = t 2 sen ⁡ t + cos ⁡ - t 4 - cos ⁡ t 4

Sendo que cos ⁡ ( - t ) = cos ⁡ ( t ) . Logo:

= t 2 sen ⁡ t

E a solução será:

u x , t = cos ⁡ t + t 2 sen ⁡ t sen ⁡ x

Resposta

u x , t = cos ⁡ t + t 2 sen ⁡ t sen ⁡ x

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