Determine a solução do problema:

Em que:

Então, devemos separar tudo que é de um lado e tudo que é do outro. Colocando em evidência, temos

Agora, jogamos de para o lado direito dividindo e fazemos a mesma coisa jogando o para o lado esquerdo:

Como temos funções de de um lado e funções de do outro, o único jeito disto ser verdade para soluções não triviais é justamente:

Assim, teremos as EDOs associadas a cada sinal de igualdade:

Agora, vamos usar as condições de contorno para montar os PVCs

Usando a separação por variáveis, temos:

Como queremos soluções não triviais:

Da mesma forma temos:

Ok, então já temos um PVC:

E a outra EDO ficará somente:

Assim mesmo, triste e sozinha ☹

Vamos então resolver primeiro a EDO com mais condições. OK, temos aqui:

Aplicando a equação característica, vamos encontrar:

Então a solução desta EDO vai depender do sinal de . Começando com o caso em que . Temos então que o que está dentro da raiz será um número positivo e, portanto, teremos duas raízes reais e distintas.

Com isso, nossa solução será na forma de funções exponenciais:

Legal. Aplicando agora as condições de contorno do problema:

Já substituindo esse valor e aplicando a outra condição de contorno, temos:

Temos entre parênteses duas exponenciais distintas. Então a diferença entre elas nunca será zero e resta apenas:

Portanto, para , tem-se

Ou seja, só solução trivial que não nos interessa.

Vamos ver a situação agora com . Nesse caso temos que:

Temos duas raízes identicamente nulas. Dessa forma, a solução será uma reta:

Aplicando novamente as condições de contorno, temos:

Já substituindo esse valor para e aplicando a outra condição:

Logo, novamente temos apenas:

Para . Vamos para último caso que é . Neste caso, teremos duas raízes distintas, mas imaginárias, uma vez que teremos um número negativo dentro da raiz:

Com isso, nossa solução será na forma de senos e cossenos:

Aplicando as condições de contorno, temos:

Já considerando o valor de e aplicando a condição seguinte:

Como queremos soluções não triviais, precisamos que o seno se anule. Para isso precisamos que seu argumento seja múltiplo de , ou seja:

Sendo um número inteiro maior que zero. Isolando vamos encontrar os autovalores associados a esse EDO:

E as autofunções serão os correspondentes para desconsiderando a constante geral:

Agora, vamos resolver a EDO restante em :

Essa é uma EDO do tipo separável. Vamos considerar:

Assim substituímos:

E então deixamos tudo que é de um lado e tudo que é do outro:

Aí, integramos dois lados:

Agora, isolamos :

Assim, definimos para simplificar:

Como vimos que:

Temos solução fundamental:

Agora podemos construir nossa solução. Como hipótese do início da solução, temos:

Então, teremos a solução fundamental associada:

Assim, a solução geral vai ser dada pela combinação linear das soluções fundamentais. Isso vai gerar nossa série:

Para concluir o problema, precisamos encontrar o valor de . Para isso, usamos mais uma condição que foi dada na questão:

Neste ponto, pela nossa solução, teremos:

Sendo justamente:

Observamos agora a nossa série e a função. O é justamente o coeficiente de Fourier associado a extensão de . Além disso, como só aparece termos com seno, trata-se da extensão ímpar de que chamaremos de  .

Como está definida no intervalo , a extensão ímpar terá período igual a duas vezes o comprimento deste intervalo, ou seja, será -periódica.

Legal, esclarecido isto, vamos usar a fórmulinha do coeficiente de Fourier para senos:

Como a extensão é ímpar e a função seno é ímpar também, o integrando será par. Portanto, teremos:

Além disso, já que a nossa extensão tem período e a fórmula geral diz respeito a funções de período , temos :

No intervalo da integral a extensão ímpar será exatamente igual a função, então:

Show, agora separamos em uma integral para cada expressão da nossa função:

teremos que usar integração por partes com . Ficando:

Agora, para:

Temos:

Assim, vamos ter:

Portanto, vamos ter, juntando tudo:

Então, vamos ter:

😊