Encontre a solução do problema
Onde é a função definida por
Passo 1
Vamos usar separação de variáveis aqui, de modo que escrevemos:
Assim:
E, substituindo na equação:
E, assim, podemos reescrever:
Passo 2
Assim, resolvemos o problema com a EDO na variável :
A sua equação característica dá:
Portanto:
Passo 3
Vamos olhar para as condições iniciais e de contorno. Como nem nem podem ser identicamente nulos, teremos:
Aplicando as condições em :
Desta forma, como , temos que
E, assim,
Desta forma, escrevemos que uma solução é
Passo 4
Para a variável :
Mas como :
E a equação característica dá:
Portanto:
Passo 5
Combinando os resultados:
De modo que a solução geral é uma combinação linear dada por
Passo 6
Finalmente, sabemos que
Assim,
E reconhecemos os termos da série de Fourier como
Guarda essa relação aqui, que já vamos usá-la!
Passo 7
Usando a última informação de que:
Assim,
E reconhecemos os termos da série de Fourier como
Passo 8
Agora podemos usar as duas relações. Então temos duas equações e duas incógnitas:
Multiplicando a primeira equação por e a segunda por :
Finalmente, subtraindo a segunda da primeira:
Disso a gente tira que
Passo 9
Agora a gente pode voltar lá no e escrever bonitinha a solução:
Logo:
Sendo que:
Passo 10
Vamos reescrever esse cara aqui de maneira mais clara:
Lembre-se de que:
Então aquela expressão:
Passo 11
Hora das conclusões...
Finalmente, nossa solução será: