Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado com condições de Neumann:
- Encontre a solução estacionária para o problema
- Seja . Descreva o problema de valores de contorno e de valor inicial que é satisfeito por
- Determine o valor de para todo
Passo 1
a)
A solução estacionária vai ser aquela que não depende de , então vamos fazer
Assim
E vamos ter
Assim vamos ter
Além disso, vamos ter pelas condições de contorno
Assim
Assim, pela primeira equação
E pela segunda equação
Assim vamos ter
Com os valores de que ele deu
Passo 2
b)
Vamos fazer agora aquela mudança para que ele falou
Assim
As derivadas vão ser
Substituindo na equação vamos ter
Lembrando que fizemos , assim
Com
Faltam as condições de contorno e iniciais.
E
Assim nosso problema passa a ser
Lembrando que
Assim
Passo 3
c)
Para achar aquele valor de temos que resolver aquele problema de , assim como já achamos vamos achar .
Agora temos que resolver essa parada. Nosso problema é
Para isso vamos usar o método da separação de variáveis como ele sugeriu. Então
Substituindo na EDP temos
Agora vamos passar tudo com para um lado e o que tem no outro
Isso nos dá
Agora vamos ver as condições do problema,
Passo 4
Vamos resolver agora a equação que tem duas condições (de contorno), que vai ser
Aqui temos duas coisas para fazer, resolver essa equação como sempre fazemos ou olhar o formulário, que nesse caso tem a solução dessa equação, fica sempre atento se tem a solução dessas equações no formulário, isso vai te poupar muita conta. Vamos fazer como se não tivéssemos a resposta no formulário.
Isso nos diz que temos a seguinte equação característica
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: , ,
Assim temos
Isso nos dá
Substituindo na segunda equação
E
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: ,
Assim
E só vamos ter a solução trivial.
Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: ,
Assim vamos ter, pela primeira equação,
Assim temos
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Passo 5
Tendo os valores de , resolver a outra EDO
Beleza, agora temos que resolver o problema em , temos:
A nossa solução aqui vai ser
Substituindo os valores de que achamos vamos ter
Agora vamos ter que vai ser
Essa é a solução fundamental , as combinações lineares satisfazem a EDO, então a solução vai ser
Passo 6
Falta achar esses coeficientes . Vamos usar a última condição que temos no problema
Substituindo a expressão de que achamos
Vendo essa série como uma série de Fourier de senos, fazemos uma extensão ímpar na função e temos:
Lembrando que
Vamos ter
Aqui temos que considerar duas situações, se aquela subtração dentro do cosseno é ou não.
Vamos começar com
Assim
Agora vamos ver quando
Assim vamos ter
Repara que tanto quando sempre vão ser vezes um número inteiro, assim o seu seno vai ser
E vamos ter
Passo 7
Vamos voltar para
O único coeficiente que vai aparecer aí é p que é , então
Como
Vamos ter
O valor que ele quer é
Resposta
a)
Com os valores de que ele deu
b)
c)