Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer as funções X e T para obtermos soluções fatoradas da forma u(x, t) = X(x) * T(t) .

d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDP. Nosso objetivo é encontrar as soluções da forma u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) para a função

d 2 x u + d 2 y u = 0

Lembram como fazemos isso? Substituímos a nossa u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) e suas derivadas parciais na equação diferencial. Vamos nessa

Passo 2

Bem, vamos olhar a nossa equação

d 2 x u + d 2 y u = 0

Vamos calcular as derivadas parciais de u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) , e depois substituir na equação acima.

d d x u ( x ,   t )   =   d d x X ( x ) T ( t )

= X ' ( x ) T ' ( t )

d d t u ( x ,   t )   =   d d t X ( x ) T ( t )

=   X ( x ) T ' ( t )

d 2 d x 2 u ( x ,   t )   = d d x     d d x X ( x ) T ( t )

=   X ' ' ( x ) T ( t )

d 2 d t 2 u ( x ,   t )   = d d t     d d t X ( x ) T ( t )

=   X ( x ) T ' ' ( t )

Passo 3

Agora que temos a nossas derivadas parciais, fazemos a substituição em

d 2 x u + d 2 y u = 0

Fazendo isso obtemos

X ' ' ( x ) T ( t ) + X ( x ) T ' ' ( t ) = 0

Isolando X e T

X ' ' ( x ) X ( x ) = - T ' ' ( t ) T ( t )

Bem, temos duas equações em variáveis distintas que são sempre iguais. Isso quer dizer que essas funções são uma constante k . Então teríamos as seguintes EDO´s

- T ' ' ( t ) T ( t ) = k

X ' ' ( x ) X ( x ) = k

Ou seja, terminamos a questão. Pois o enunciado não pede para resolver, ele pede para encontrarmos as EDO´s que devem satisfazer X ( x )   e   T ( t ) para termos uma solução da forma

u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t )

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão 🙂, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

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