Determine a solução do problema
Onde
Passo 1
Para resolver essa EDP vamos ter que usar o método da separação de variáveis
Substituindo na equação teremos
Como na igualdade acima o lado esquerdo não depende de e o lado direito não depende de , ambos deverão ser constantes e iguais a uma constante real .
Disso obtemos as duas EDOs
Passo 2
Vamos analisar as condições de contorno
Como essas igualdades devem valer para todo no nosso intervalo.
Isso nos dá um PVC com a EDO de 2ª ordem em que encontramos no passo anterior.
Passo 3
Como temos um problema de autovalor, vamos escrever a nossa equação característica.
Caso
Nesse caso teremos como raízes e e teremos como solução uma função do seguinte tipo
Que nó nosso caso vai ficar.
Vamos usar as condições iniciais
Como não existe que faça teremos.
Logo nesse caso só teremos soluções triviais.
Passo 4
Caso
Nesse caso teremos como raiz dupla e teremos como solução uma função do seguinte tipo
Que no nosso caso vai ficar
Usando as condições iniciais
Esse caso também só tem soluções triviais
Passo 5
Caso
Nesse caso teremos como raízes e teremos como solução a seguinte função.
Usando as condições iniciais
Como queremos soluções não triviais temos que.
Assim as nossas autofunções serão
Passo 6
Agora temos que trabalhar na nossa função de . Vamos usar a última condição inicial.
Como , teremos e a nossa EDO substituindo será.
Resolvendo a EDO nós vamos ter
Derivando essa função teremos.
Logo a nossa função será
Sendo assim a nossa função vai ficar
Passo 7
Como a EDP é linear e homogênea nós podemos usar o princípio da superposição e com isso.
Usando a condição inicial que faltava nós temos
Lembrando das fórmulas para série de Fourier de senos.
No nosso caso teremos
Resolvendo as integrais teremos:
Em que:
Substituindo:
Substituindo tudo chegamos a:
Como para todo
Então a nossa solução vai ficar