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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 9c

Determine a solução do problema

E D   ∂ t u = 2 ∂ 2 x u ,   0 < x < 3 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0   u ( 3 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 3 .

nos casos

c )   f ( x ) = - 9   c o s [ π 6 ( 2 x + 3 ) ]

Passo 1

Eaew, tudo certinho com você?

Aqui temos o seguinte problema de transferência de calor

E D   ∂ t u = 2 ∂ 2 x u ,   0 < x < 3 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0   u ( 3 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 3 .

esta é uma barra de comprimento L = 3 , constante de condutividade α 2 = 2 , com condições de fronteira homogêneas, e uma distribuição inicial de temperatura dada por f ( x ) . Nesta alternativa temos que

f ( x ) = - 9   c o s [ π 6 ( 2 x + 3 ) ]

Como resolver isso? O caminho longo é utilizar o método de separação de variáveis e obter as soluções fatoradas avaliando as condições de fronteira e iniciais, mas, este problema já bem conhecido, então vamos usar o resultado

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x L ) e - α 2 π 2 n 2 t L 2

e, então, encontrar os parâmetros b n usando as condições iniciais! Se tiver dúvidas de como resolver a expressão acima, no próprio site do responde aí ela está demonstrada em diversos exercícios e na própria sessão de equação de calor homogênea, dá uma checada lá, belezinha? Vamo que vamo!

Passo 2

Usando os dados do problema, temos que a nossa solução pode ser escrita como

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x 3 ) e - 2 π 2 n 2 t 9

se avaliarmos as condições iniciais, temos que

f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x 3 ) = u ( x , 0 )

Usando a distribuição inicial dada pelo enunciado obtemos

- 9   c o s [ π 6 ( 2 x + 3 ) ] = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x 3 )

nós queremos comparar os dois lados, para isso vamos precisar reescrever a nossa distribuição inicial! Vamos lá!

Passo 3

Usando que

c o s ( a + b ) = c o s ( a ) c o s ( b ) - s e n ( a ) s e n ( b )

podemos identificar que a = π x 3 e b = π 2 , portanto a nossa expressão se torna

c o s [ π 6 ( 2 x + 3 ) ] = c o s ( π x 3 ) c o s ( π 2 ) - s e n ( π x 3 ) s e n ( π 2 ) = - s e n ( π x 3 )

e, a nossa condição inicial pode ser reescrita como

9   s e n ( π x 3 ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x 3 )

note que comparando o lado esquerdo e direito, temos que o coeficiente não nulo é n = 1 , e portanto, podemos identificar que

b 1 = 9

assim como todos os outros coeficientes são zero. A nossa solução se torna então

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x 3 ) e - 2 π 2 n 2 t 9 = 9 s e n ( π x 3 ) e - 2 π 2 t 9

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = 9   s e n ( π x 3 ) e - 2 π 2 t 9

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