Considere o problema

ED u_t - u_xx - h u = 0, 0 < x < pi, t > 0;

CF u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t ≥ 0;

CI u(x, 0) = x * (π - x), 0 ≤ x ≤ π

Onde h é uma constante real.

c) Determine para quais valores de h existe lim u(x, t) quando t → infinito , para todo x ∈ R .

Passo 1

E aí galerinha, tudo na paz?

Nessa questão temos uma variação do famoso problema da equação da condução de calor.

Aqui nossa EDP mudou um pouquinho a cara, pois temos um termo - h u aparecendo na nossa equação.

Além disso, recebemos as condições de fronteira que equivalem à ambas as extremidades estarem com a temperatura nula em todo o tempo.

Por fim, as nossas condições iniciais são dadas como:

u x , 0 = x ( π - x )

No item anterior, usamos o método da separação de variáveis para resolvê-lo. Após encontrarmos a solução formal, calculamos os coeficientes que satisfazem à condição inicial CI, expandindo a função:

u x , 0 = x ( π - x )

em sua série de Fourier.

Assim, encontramos a seguinte solução para o problema:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ 8 n 3 π ⋅ e h - n 2 t ⋅ s e n n x

Nesse item o enunciado nos pergunta qual a condição em h para que exista o limite u ( x , t ) quando t → ∞ .

Pra responder isso, vamos realmente aplicar o limite na nossa solução u ( x , t ) e verificar qual deve ser a condição em h para que esse limite exista, isto é, seja finito.

Passo 2

Bom, precisamos aplicar o limite na equação:

∑ n = 1 ∞ 8 n 3 π ⋅ e h - n 2 t ⋅ s e n n x

Podemos colocar o limite dentro do somatório, de modo que vamos ter:

lim t → ∞ ⁡ 8 n 3 π ⋅ e h - n 2 t ⋅ s e n n x

Colocando para fora do limite tudo aquilo que não depende de t , temos:

8 n 3 π ⋅ s e n n x ⋅ lim t → ∞  ⁡ e h - n 2 t

Analisando apenas o limite, temos a função:

lim t → ∞  ⁡ e h - n 2 t = lim t → ∞ ⁡ e h t e n 2 t

Nota que, o nosso n também vai tendendo a infinito conforme o somatório vai avançando.

Porém, nos primeiros termos, para que eles não tendam a infinito, precisamos ter que:

h - n 2 ≤ 0

Como no nosso somatório temos que:

n = 1,2 , 3 , …

O menor valor que n assume é 1 .

Assim, se tivermos h < 1 , garantimos que pra qualquer n do nosso somatório que compõe u ( x , t ) , o termo:

e h - n 2 t

nunca irá tender para o infinito.

De modo que, o limite da solução u ( x , t ) quando t → ∞ sempre irá existir.

Portanto, precisamos ter:

h < 1

Prontinho pessoal! É isso aí!

Muito obrigado pela atenção de todos, espero que vocês tenham gostado 😉

Resposta

h < 1

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