UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 30c
Considere o problema
ED
CF
CI
Onde é uma constante real.
Determine para quais valores de existe quando , para todo .
Passo 1
E aí galerinha, tudo na paz?
Nessa questão temos uma variação do famoso problema da equação da condução de calor.
Aqui nossa EDP mudou um pouquinho a cara, pois temos um termo aparecendo na nossa equação.
Além disso, recebemos as condições de fronteira que equivalem à ambas as extremidades estarem com a temperatura nula em todo o tempo.
Por fim, as nossas condições iniciais são dadas como:
No item anterior, usamos o método da separação de variáveis para resolvê-lo. Após encontrarmos a solução formal, calculamos os coeficientes que satisfazem à condição inicial CI, expandindo a função:
em sua série de Fourier.
Assim, encontramos a seguinte solução para o problema:
Nesse item o enunciado nos pergunta qual a condição em para que exista o limite quando .
Pra responder isso, vamos realmente aplicar o limite na nossa solução e verificar qual deve ser a condição em para que esse limite exista, isto é, seja finito.
Passo 2
Bom, precisamos aplicar o limite na equação:
Podemos colocar o limite dentro do somatório, de modo que vamos ter:
Colocando para fora do limite tudo aquilo que não depende de , temos:
Analisando apenas o limite, temos a função:
Nota que, o nosso também vai tendendo a infinito conforme o somatório vai avançando.
Porém, nos primeiros termos, para que eles não tendam a infinito, precisamos ter que:
Como no nosso somatório temos que:
O menor valor que assume é .
Assim, se tivermos , garantimos que pra qualquer do nosso somatório que compõe , o termo:
nunca irá tender para o infinito.
De modo que, o limite da solução quando sempre irá existir.
Portanto, precisamos ter:
Prontinho pessoal! É isso aí!
Muito obrigado pela atenção de todos, espero que vocês tenham gostado 😉