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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

Questão 2: Encontre a solução do problema de valor de contorno

u x x + u y y + u = 0 ,     p a r a     x ,   y ∈ 0 ,   1 × 0 ,   3 ,

u 0 ,   y = 0                     u 1 , y = 0 ,                 u x , 0 = 0                     u x ,   3 = 3 - x ,

Passo 1

Bem, podemos procurar uma solução para essa ED tentando encontra-la por partes dessa forma aqui:

u = X x Y y

Logo:

u x x = X ' ' x Y y

u y y = X x Y ' ' y

Bem, a gente também pode tirar condições iniciais lembrando que:

u 0 ,   y = 0                     u 1 , y = 0 ,                 u x , 0 = 0                     u x ,   3 = 3 - x ,     →

Então da primeira igualdade:

u 0 ,   y = 0     →           X 0 Y y = 0         →           X 0 = 0

Da segunda:

u 1 ,   y = 0     →           X 1 Y y = 0         →           X 1 = 0

E da terceira:

u x ,   0 = 0     →           X x Y 0 = 0         →           Y 0 = 0

Partiu substituir tudo e procurar sistemas de EDO’s para resolver a nossa vida?!

Passo 2

Logo, substituindo então na nossa EDO:

u x x + u y y + u = 0               →

X ' ' x Y y + X x Y ' ' y + X x Y y = 0

Dividindo todo mundo por Y y :

X ' ' x + X x Y ' ' y Y y + X x = 0

Agora dividindo todo mundo por X x :

X ' ' x X x + Y ' ' y Y y + 1 = 0       →

X ' ' x X x = - Y ' ' y Y y + 1     →

Bem, como eu tenho uma igualdade de duas funções com variáveis diferentes, isso só pode significar que ela tem que ser igual uma constante - λ (O menos é apenas para facilitar a vida ):

X ' ' x X x = - Y ' ' y Y y + 1 = - λ   →

Daqui tiramos um sisteminha:

X ' ' x X x = - λ - Y ' ' y Y y + 1 = - λ           →

Simplificando o sistema como mudar a notação de Y y = Y e X x = X ...

X ' ' = - λ X - Y ' ' Y + Y Y = - λ           →

X ' ' = - λ X Y ' ' + Y = λ Y

Inserindo as condições iniciais, ganhamos dois sistemas diferentes de EDO’s para resolvermos:

X ' ' + λ X = 0 Y ' ' + 1 - λ Y = 0                 →               X ' ' + λ X = 0 X 0 = 0 ,         X 1 = 0   Y ' ' + 1 - λ Y = 0 Y 0 = 0

Passo 3

Vamos começar a resolver esse troço aí! Primeiro vamos resolver a EDO com mais condições iniciais. Nesse caso...

X ' ' + λ X = 0 X 0 = 0 ,         X 1 = 0

Por equação característica:

b 2 + λ = 0     →    

      b 1 = - λ b 2 = - - λ

Agora vamos analisar cada caso dependendo do valor de λ que no caso é desconhecido (até o momento ;).

Passo 4

1º - Caso λ < 0 :

Caso isso aconteça, ∆ > 0 :

      b 1 = - λ b 2 = - - λ

São valores reais e diferentes entre si e, portanto, a solução será:

X = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Aplicando a primeira condição de contorno de que...

X 0 = 0         →           X 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 = c 1 + c 2 = 0   →

c 1 = - c 2

Para a segunda...

X 1 = 0         →           X 1 = c 1 e - λ + c 2 e - - λ = 0     →

X 1 = - c 2 e - λ + c 2 e - - λ = 0     →

X 1 = c 2 - e - λ + e - - λ = 0     →

Pow, como esse termo dos parênteses não é 0 ...

c 2 = 0

c 1 = 0

Logo

X x = 0

Essa é uma solução trivial e que não queremos! Então analisemos o outro caso...

Passo 5

2º - Caso λ = 0 :

∆ = 0

Nesse caso, a solução da equação característica será:

      b 1 = - λ b 2 = - - λ     →

b 1 = b 2 = b = 0

Nesse caso, o modelo de resposta para a EDO é assim:

X = c 1 e b ⋅ x + c 2 t e - b ⋅ x   →

X = c 1 e 0 + c 2 x e 0   →          

X = c 1 + c 2 x

Substituindo a primeira condição...

X 0 = 0       →             X 0 = c 1 + c 2 ⋅ 0 = 0     →           c 1 = 0

substituindo a segunda...

X 1 = 0       →             X 1 = c 2 ⋅ 1 = 0     →           c 2 = 0

Novamente ganhamos a solução trivial:

X = 0

Mas não desista, pois ainda temos mais um caso para analisar!

Passo 6

3º - Caso λ > 0 :

∆ < 0

Nesse caso, teremos uma solução imaginária para a Equação característica...

b 2 + λ = 0     →           b 1 = - λ b 2 = - - λ         →

b = ± i λ

E, portanto, o modelo de solução da EDO é assim:

X = c 1 sin ⁡ λ ⋅ x + c 2 cos ⁡ λ ⋅ x  

Substituindo a primeira condição...

X 0 = 0             →             X 0 = c 1 sin ⁡ 0 + c 2 cos ⁡ 0 = 0     →

c 2 = 0

substituindo a segunda...

X 1 = 0             →             X 1 = c 1 sin ⁡ λ = 0     →

Como não queremos a solução trivial novamente, precisamos que...

c 1 ≠ 0       →

Logo...

sin ⁡ λ = 0       →

Ora, quando esse seno zera? Quando...

λ = π , 2 π , 3 π , …

Ou seja...

λ = n π ,             n ∈ 1 ,   2 ,   3 , …   o u

Logo, os autovalores são...

λ n = n 2 π 2 ,               n ∈ N

Para as autofunções, basta substituir aqui os valores de c 2 e de λ :

X = c 1 sin ⁡ λ ⋅ x + c 2 cos ⁡ λ ⋅ x →

X = c 1 sin ⁡ n π x

Para as autofunções, a gente pode desconsiderar o c 1 , então...

X n = sin ⁡ n π x   ,               n ∈ N

Passo 7

Com isso, já podemos procurar a solução da nossa segunda EDO que encontramos lá em cima no passo 2:

Y ' ' + 1 - λ Y = 0 Y 0 = 0   →

Substituindo o λ que acabamos de encontrar...

Y ' ' + 1 - n 2 π 2 Y = 0 Y 0 = 0

Resolvendo a EDO por equação característica novamente:

r 2 + 1 - n 2 π 2 = 0       →

r 2 = - 1 - n 2 π 2       →

r 2 = n 2 π 2 - 1       →

r = ± n 2 π 2 - 1

Pow! Podemos garantir agora que esse valor dentro da raiz é positivo, já que para n = 1 ,   2 ,   3 … , n 2 π 2 > 1 , então as soluções são reais e diferentes! Logo, a resposta da EDO é assim:

Y = d 1 e r 1   y + d 2 e r 2   y     →

Y = d 1 e n 2 π 2 - 1   y + d 2 e - n 2 π 2 - 1   y

Substituindo a condição em cima de Y ...

Y 0 = 0   →

Y = d 1 e 0 + d 2 e 0 = d 1 + d 2 = 0     →

d 2 = - d 1

Logo:

Y = d 1 e n 2 π 2 - 1   y + d 2 e - n 2 π 2 - 1   y   →

Y = d 1 e n 2 π 2 - 1   y - d 1 e - n 2 π 2 - 1   y   →

Y = d 1 e n 2 π 2 - 1   y - e - n 2 π 2 - 1   y

E semelhante o que houve com X , para as autofunções, a gente pode desconsiderar o c 1 , então...

Y n = e n 2 π 2 - 1   y - e - n 2 π 2 - 1   y

Passo 8

Logo, a solução dependendo de n é:

u n = X n ⋅ Y n →

u n = e n 2 π 2 - 1   y - e - n 2 π 2 - 1   y sin ⁡ n π x

Já a solução geral é a combinação de todas essas respostas possíveis:

u x ,   y = ∑ n = 1 ∞ c n u n     →

u x ,   y = ∑ n = 1 ∞ c n e n 2 π 2 - 1   y - e - n 2 π 2 - 1   y sin ⁡ n π x

Passo 9

Bem, mais se você se recordar lá das condições que o problema nos deu, temos isso daqui:

u 0 ,   y = 0                     u 1 , y = 0 ,                 u x , 0 = 0                     u x ,   3 = 3 - x ,

Nós usamos todas as condições já exceto por essa aqui:

  u x ,   3 = 3 - x ,         x ∈ 0 ,   1

Igualando essa condição a resposta que temos...

3 - x = ∑ n = 1 ∞ c n e 3 n 2 π 2 - 1   - e - 3 n 2 π 2 - 1   sin ⁡ n π x

Perceba que isso é uma representação em série de Fourier da função 3 - x e encontrar c n é justamente resolver essa equação! Então partiu?!

Passo 10

De acordo com Fourier toda essa função de n que multiplica seno é dado pela integral:

c n e 3 n 2 π 2 - 1   - e - 3 n 2 π 2 - 1   = 2 L ∫ 0 L 3 - x sin ⁡ n π x d x

Onde o valor de L é o intervalo de x :

u x ,   3 = 3 - x ,         x ∈ 0 ,   L

No nosso caso:

u x ,   3 = 3 - x ,         x ∈ 0 ,   1

Portanto:

c n e 3 n 2 π 2 - 1   - e - 3 n 2 π 2 - 1   = 2 ∫ 0 1 3 - x sin ⁡ n π x d x

Podemos calcular essa integral aí por uma integração por partes:

u = 3 - x                     e                           d v = sin ⁡ n π x d x

d u = - d x                     e                           v = - cos ⁡ n π x n π

Logo...

∫     3 - x sin ⁡ n π x d x = - 3 - x cos ⁡ n π x n π - ∫     - cos ⁡ n π x n π - d x   →

∫     3 - x sin ⁡ n π x d x = - 3 - x cos ⁡ n π x n π - 1 n π ∫     cos ⁡ n π x d x   →

∫     3 - x sin ⁡ n π x d x = - 3 - x cos ⁡ n π x n π - 1 n π sin ⁡ n π x n π   →

∫     3 - x sin ⁡ n π x d x = - 3 - x cos ⁡ n π x n π - sin ⁡ n π x n 2 π 2

Voltando com esse resultado para a equação que queremos resolver...

c n e n 2 π 2 - 1   y - e - n 2 π 2 - 1   y = 2 ∫ 0 1 3 - x sin ⁡ n π x d x →

E substituindo os limites de integração...

c n e n 2 π 2 - 1   y - e - n 2 π 2 - 1   y = 2 - 3 - x cos ⁡ n π x n π - sin ⁡ n π x n 2 π 2 0 1 =

2 - 3 - 1 cos ⁡ n π n π - sin ⁡ n π n 2 π 2 - - 3 cos ⁡ 0 n π - sin ⁡ 0 n 2 π 2

Como sin ⁡ n π = 0 e cos ⁡ n π = - 1 n para n = 1 ,   2 ,   3 …

c n e 3 n 2 π 2 - 1   - e - 3 n 2 π 2 - 1   = 2 - 3 - 1 - 1 n n π - - 3 1 n π   →

c n e 3 n 2 π 2 - 1   - e - 3 n 2 π 2 - 1   = 2 - 2 - 1 n n π + 3 n π   →

c n e 3 n 2 π 2 - 1   - e - 3 n 2 π 2 - 1   = 2 2 - 1 n + 1 n π + 3 n π   →

c n e 3 n 2 π 2 - 1   - e - 3 n 2 π 2 - 1   = 4 - 1 n + 1 + 6 n π     →

Logo, c n deve ser...

c n = 4 - 1 n + 1 + 6 n π e 3 n 2 π 2 - 1   - e - 3 n 2 π 2 - 1  

Como a solução da nossa Diferencial ficou isso aqui:

u x ,   y = ∑ n = 1 ∞ c n e n 2 π 2 - 1   y - e - n 2 π 2 - 1   y sin ⁡ n π x     →

Substituindo o c n que acabamos de encontrar:

u x ,   y = ∑ n = 1 ∞ 4 - 1 n + 1 + 6 n π e 3 n 2 π 2 - 1   - e - 3 n 2 π 2 - 1   e n 2 π 2 - 1   y - e - n 2 π 2 - 1   y sin ⁡ n π x

Prontinho! Solução completa!

Resposta

u x ,   y = ∑ n = 1 ∞ 4 - 1 n + 1 + 6 n π e 3 n 2 π 2 - 1   - e - 3 n 2 π 2 - 1   e n 2 π 2 - 1   y - e - n 2 π 2 - 1   y sin ⁡ n π x

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