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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 11b

Considere a equação

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

b ) Verifique que as funções u 1 ( x , y ) = e x e u 2 ( x , y ) = e y são soluções desta equação.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos dá a seguinte EDP não-linear

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

e, pede para que mostremos que as seguintes funções

u 1 ( x , y ) = e x e u 2 ( x , y ) = e y

são soluções. Certo? Para isso precisamos substituir as funções e ver que a equação se mantém sem problemas! Ou seja, derivar e substituir! Bora lá!

Passo 2

Começando com a função

u 1 ( x , y ) = e x

a derivada em relação a x é dada por

∂ x u 1 ( x , y ) = e x

e, a derivada em relação a y é dada por

∂ y u 1 ( x , y ) = 0

substituindo os resultados em nossa equação diferencial, obtemos

0 - e x ( e x + 0 ) + ( e x ) 2 = 0

aplicando propriedades da exponencial temos que

- e 2 x + e 2 x = 0

Aí está! Demonstramos a primeira! Vamos para segunda!

Passo 3

O processo é o mesmo, temos agora que

u 2 ( x , y ) = e y

a derivada em relação a x é dada por

∂ x u 2 ( x , y ) = 0

e, a derivada em relação a y é dada por

∂ y u 2 ( x , y ) = e y

substituindo os resultados em nossa equação diferencial, obtemos

0 - e y ( 0 + e y ) + ( e y ) 2 = 0

aplicando propriedades da exponencial temos que

- e 2 y + e 2 y = 0

Aí está! Demonstrado! Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos!

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