UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 14b
O problema a seguir
,
.
descreve a propagação do calor numa barra de comprimento cujas extremidades também foram isoladas termicamente.
Para quais valores de esse problema tem solução? Determine essas soluções.
Passo 1
Oiie, tudo bem?
O enunciado nos indica o seguinte problema de transferência de calor em uma barra
,
.
esta é uma barra de comprimento , com distribuição inicial de temperatura dada por e extremidades isoladas. Na última alternativa encontramos que ao aplicar o método de separação de variáveis usando uma solução fatorada da forma
obtemos que a função deveria obedecer o problema de fronteira
em que e
essa alternativa pede para indicarmos para quais valores de é possível encontrar uma solução não-trivial! Vamos testar diferentes intervalos possíveis para . Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar soluções em que , neste caso nosso polinômio característico pode ser escrito como
e, portanto, temos raízes reais e distintas da forma
com raízes desta forma, temos que a solução da equação diferencial de segunda ordem homogênea se torna
Vamos tentar aplicar as condições de fronteira!
Passo 3
Como nossas condições foram dadas sobre as derivadas, precisamos derivar a nossa solução, de forma que obtemos
usando as condições de fronteira obtemos duas equações para as constantes
e, também
da equação obtemos que , e desta forma, temos que a equação se torna
a expressão acima só é zero quando , como , temos que deve ser nulo. Então nestas condições temos que tem apenas a solução trivial!
Passo 4
Vamos tentar agora , temos que o polinômio característico agora tem raízes iguais da forma
e, portanto a solução é da forma
assim como fizemos no passo anterior, derivando e aplicando as condições de fronteira, obtemos que
e o valor de é totalmente arbitrário, mas , ou teremos uma solução trivial. Se lembrar do método de separação de variáveis, a evolução temporal é dada por
com , você obtém que
ou seja, temos que é constante, assim como , sendo assim, nosso resultado é uma constante arbitrária. Isso é uma solução, mas não desejável, já que não nos dá informação sobre o problema físico em si! Vamos à última possibilidade.
Passo 5
Agora considerando que , temos que nosso polinômio característico terá raízes complexas conjugadas da forma
ou seja, a solução será uma combinação de senos e cossenos da forma
derivando, temos que
novamente, temos duas equações ao aplicar as condições de fronteira
e
da primeira expressão obtemos , e portanto a segunda nos dá a relação
se escolhermos , temos que a solução é trivial, portanto, para obter uma solução diferente, analisamos quando o seno se anula, isso ocorre para
ou simplesmente
Temos soluções então da forma
Essa alternativa foi isso! Vamos para a próxima! Te vejo jajá!
Resposta
, apenas solução trivial. , solução trivial ou solução constante. , solução da forma .