Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 14a

O problema a seguir

,

.

descreve a propagação do calor numa barra de comprimento cujas extremidades também foram isoladas termicamente.

Se for uma solução fatorada da equação, satisfazendo as condições de fronteira acima, qual é o problema de fronteira que a função deve satisfazer?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos indica o seguinte problema de transferência de calor em uma barra

esta é uma barra de comprimento , com distribuição inicial de temperatura dada por e extremidades isoladas. A alternativa pede para que utilizemos uma solução da forma

e discutamos quais as condições sobre para que ela seja adequada ao nosso problema! Isso é o método de separação de variáveis! Saca só!

Passo 2

Substituindo a solução fatorada na equação diferencial temos que

nós podemos separar as variáveis em cada lado da equação da seguinte maneira

é uma constante já que cada lado evolui individualmente para cada variável. Sendo assim, a nossa função deve obedecer a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem

As condições de fronteira obtidas tais que

ou seja

como escolher nos leva a uma solução trivial, , precisamos que

Este é o problema de fronteira que precisamos resolver! Bora para a próxima alternativa!

Resposta

em que e

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