Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

a) u(x, y) = x + y, ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0;

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:

∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0

E, precisamos comprovar que a função:

u x , y = x + y

é uma solução da EDP dada.

Pra fazer isso, poderíamos tentar resolver a EDP, mas isso seria bem complicado porque não temos as condições iniciais, nem de fronteira, então iríamos encontrar uma solução muito geral.

Como foi dada uma função pra verificarmos se ela é uma solução, podemos simplesmente substitui-la na EDP e verificar se a equação diferencial permanece válida.

E aí, tudo beleza? Sacaram a ideia?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos a EDP:

∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0

E, queremos substituir u pela função:

u x , y = x + y

Então, pra fazermos isso, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de u . Vamos ter:

∂ x u = ∂ x + y ∂ x

= 1

Derivando mais uma vez, temos:

∂ x 2 u = ∂ 1 ∂ x

= 0

Show!

Calculando agora o outro termo:

∂ y u = ∂ x + y ∂ y

= 1

Derivando mais uma vez:

∂ y 2 u = ∂ 1 ∂ y

= 0

Daí, juntando agora ambos os resultados na nossa EDP:

∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0 + 0

= 0

Portanto, nossa EDP permanece válida para a função pedida. Logo, ela é solução da EDP.

Aeee, valeu pela atenção gente! Até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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