Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

Ver Teoria
Exercício 351234567891011121314151617181920212223242526272829303132333436373839404142434445464748495051525354555657585960

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 2a

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

a )   u x , y = x + y ,     ∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0 ;

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:

∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0

E, precisamos comprovar que a função:

u x , y = x + y

é uma solução da EDP dada.

Pra fazer isso, poderíamos tentar resolver a EDP, mas isso seria bem complicado porque não temos as condições iniciais, nem de fronteira, então iríamos encontrar uma solução muito geral.

Como foi dada uma função pra verificarmos se ela é uma solução, podemos simplesmente substitui-la na EDP e verificar se a equação diferencial permanece válida.

E aí, tudo beleza? Sacaram a ideia?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos a EDP:

∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0

E, queremos substituir u pela função:

u x , y = x + y

Então, pra fazermos isso, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de u . Vamos ter:

∂ x u = ∂ x + y ∂ x

= 1

Derivando mais uma vez, temos:

∂ x 2 u = ∂ 1 ∂ x

= 0

Show!

Calculando agora o outro termo:

∂ y u = ∂ x + y ∂ y

= 1

Derivando mais uma vez:

∂ y 2 u = ∂ 1 ∂ y

= 0

Daí, juntando agora ambos os resultados na nossa EDP:

∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0 + 0

= 0

Portanto, nossa EDP permanece válida para a função pedida. Logo, ela é solução da EDP.

Aeee, valeu pela atenção gente! Até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

Exercícios de Livros Relacionados

A equação de onda em coordenadas polares é Mostre que, se u(r, q, t) = R(r)Θ(q,)T(t), então R, Θ e T satisfazem as equações diferenciais ordinárias
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) é independente de θ, então a primeira equação no item (a) permanece inalterada, a segunda é omitida e a
A equaçãoé uma generalização da equação de Laplace, algumas vezes denominada equação de Helmholtz.Considere a equação de Helmholtz no disco r
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se definirmos uma nova variável independente por s = cos φ, então a equação para Φ no item (b) fica
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) = P(ρ)Θ(θ)Φ(φ), então P, Θ e Φ satisfazem equações diferenciais ordinárias da forma.A primeira dessas e