Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 2e

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

onde e são funções arbitrárias;

Passo 1

E aí galerinha, tudo de boa por aí? Vamo matar essa questozitaaa!!!

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:

onde é uma constante.

E, precisamos comprovar que a função:

é uma solução da EDP dada.

Pra fazer isso, poderíamos tentar resolver a EDP, mas isso seria bem complicado porque não temos as condições iniciais, nem de fronteira, então iríamos encontrar uma solução muito geral.

Como foi dada uma função pra verificarmos se ela é uma solução, podemos simplesmente substitui-la na EDP e verificar se a equação diferencial permanece válida.

E aí, tudo beleza? Sacaram a ideia?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos a EDP:

E, queremos substituir pela função:

Então, pra fazermos isso, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de .

Aqui temos uma derivada mista, primeiro vamos derivar com relação a e depois com relação a . Daí, teremos o termo:

Massa! Bora lá!

Agora vamos derivar o resultado encontrado com relação a :

Como é uma função apenas de , funciona como uma constante para . E, a derivada de toda constante é nula. Logo:

Ou seja, chegamos a:

Logo, como a igualdade da EDP foi obedecida, dizemos que a função dada realmente é uma solução da EDP.

E aí, entenderam direitinho? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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