Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

e) u(x, y) = f(x) + g(y), (∂²u)/(∂y∂x) = 0, onde f e g são funções arbitrárias;

Passo 1

E aí galerinha, tudo de boa por aí? Vamo matar essa questozitaaa!!!

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:

∂ 2 u ∂ y ∂ x = 0

onde c é uma constante.

E, precisamos comprovar que a função:

u x , y = f x + g y

é uma solução da EDP dada.

Pra fazer isso, poderíamos tentar resolver a EDP, mas isso seria bem complicado porque não temos as condições iniciais, nem de fronteira, então iríamos encontrar uma solução muito geral.

Como foi dada uma função pra verificarmos se ela é uma solução, podemos simplesmente substitui-la na EDP e verificar se a equação diferencial permanece válida.

E aí, tudo beleza? Sacaram a ideia?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos a EDP:

∂ 2 u ∂ y ∂ x = 0

E, queremos substituir u pela função:

u x , y = f x + g y

Então, pra fazermos isso, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de u .

Aqui temos uma derivada mista, primeiro vamos derivar com relação a y e depois com relação a x . Daí, teremos o termo:

∂ 2 u ∂ y ∂ x

Massa! Bora lá!

∂ u ∂ y = ∂ f x + g y ∂ y

= g ' y

Agora vamos derivar o resultado encontrado com relação a x :

∂ u ∂ y ∂ x = ∂ g ' y ∂ x

Como g ' ( y ) é uma função apenas de y , funciona como uma constante para x . E, a derivada de toda constante é nula. Logo:

∂ g ' y ∂ x = 0

Ou seja, chegamos a:

∂ 2 u ∂ y ∂ x = 0

Logo, como a igualdade da EDP foi obedecida, dizemos que a função dada realmente é uma solução da EDP.

E aí, entenderam direitinho? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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