UFRJ – Sem Campus – Cálculo 4 – Provas Antigas – P2 – 2022.1 – Questão 1
Encontre todas as soluções do problema
Passo 1
Oiiie, tudo certinho com você?
Nós temos aqui uma equação diferencial parcial (EDP) de primeira ordem, e condições iniciais sobre o sistema! Precisamos achar uma solução! O que significa isso, no entanto? Significa que iremos encontrar uma função que respeite as condições dada no enunciado! E já que temos as derivadas parciais dela na equação dada, porquê não começamos por aí? Certo? Bora lá!
Passo 2
Se derivarmos a função parcialmente em relação a , temos que
Como não depende de , podemos considerar esta parte como uma constante, e temos que
Podemos fazer o mesmo, mas agora, derivando parcialmente em , para obter
Vamos substituir isso dentro de nossa equação diferencial! Saca só!
Passo 3
Colocando a equação (1) e (2) em nossa equação diferencial, temos
Se eu dividir os dois lados por , tenho que
A equação (3) está em um ótimo formato, pois podemos separar tudo que depende de de um lado e tudo que depende de do outro lado! Vamos fazer isso!
Passo 4
Da equação (3) temos que
Como o lado esquerdo só depende de e o direito só depende de , temos que a única solução possível é aquela onde ambos os lados são iguais a uma constante, da seguinte maneira
E
Próximo passo é resolver e individualmente! Vem comigo!
Passo 5
Começando pela equação temos que multiplicando os dois lados por
Se integrarmos de ambos os lados obtemos
O que resulta em
E aplicando a função exponencial de ambos os lados podemos isolar como
Essa é a nossa primeira função. Vamos resolver agora a equação (5) e obter a outra!
Passo 6
Isolando os termos de na equação (5) temos que
Se multiplicarmos os dois lados por , temos
Integrando nos limites de integração apropriados, temos que
Temos então resolvendo as integrais que
E, aplicando as exponenciais, obtemos
Belezinha! Agora é só escrevermos nossa solução geral! Bora lá!
Passo 7
Temos que , portanto
Se aplicarmos a condição inicial que , temos que
De forma que a solução se torna
Temos todas as soluções porquê para cada valor da constante , temos uma solução válida possível! A nossa resposta final é essa! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!