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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 2c

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

c )   u x , y = s e n x cosh ⁡ y ,     ∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0 ;  

Passo 1

Ooii pessoal, tudo na paz por aí?

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:

∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0

E, precisamos comprovar que a função:

u x , y = s e n x cosh ⁡ y

é uma solução da EDP dada.

Pra fazer isso, poderíamos tentar resolver a EDP, mas isso seria bem complicado porque não temos as condições iniciais, nem de fronteira, então iríamos encontrar uma solução muito geral.

Como foi dada uma função pra verificarmos se ela é uma solução, podemos simplesmente substitui-la na EDP e verificar se a equação diferencial permanece válida.

E aí, tudo beleza? Sacaram a ideia?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos a EDP:

∂ x 2 u + ∂ y 2 u = 0

E, queremos substituir u pela função:

u x , y = s e n x cosh ⁡ y

Então, pra fazermos isso, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de u .

Derivando em relação a x , vamos ter:

∂ x u = ∂ s e n x cosh ⁡ y ∂ x

= cos ⁡ x cosh ⁡ y

Derivando mais uma vez:

∂ x 2 u = ∂ cos ⁡ x cosh ⁡ y ∂ x

=   - s e n x c o s h ⁡ ( y )

Massa! Vamos agora calcular as derivadas com relação a y :

∂ y u = ∂ s e n x cosh ⁡ y ∂ y

= s e n x s e n h y

Derivando mais uma vez:

∂ y 2 u = ∂ s e n x s e n h y ∂ y

= s e n x cosh ⁡ y

Muito bom gente! Daí, substituindo esses resultados na nossa EDP, vem:

∂ x 2 u + ∂ y 2 u = - s e n x cosh ⁡ y + s e n x cosh ⁡ y

= 0

Opaaaa! A EDP realmente foi obedecida. Logo, essa função realmente é solução da EDP.

Sacaram a ideia galera? É isso aí, só substituir a função dada na equação e verificar se o resultado da EDP tá sendo obedecido.

Valeeeu 😉

Resposta

Resposta no texto.

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