Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

Ver Teoria
Exercício 511234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950525354555657585960

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 9d

Determine a solução do problema

E D   ∂ t u = 2 ∂ 2 x u ,   0 < x < 3 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0   u ( 3 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 3 .

nos casos

d )   f ( x ) = 3   c o s ( 8 π x 3 + π 2 ) - 3 c o s ( 8 π x 3 - π 2 ) + s e n ( 5 π x )

Passo 1

Eaew, tudo certinho com você?

Aqui temos o seguinte problema de transferência de calor

E D   ∂ t u = 2 ∂ 2 x u ,   0 < x < 3 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0   u ( 3 , t ) = 0 ,   t ≥ 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x ≤ 3 .

esta é uma barra de comprimento L = 3 , constante de condutividade α 2 = 2 , com condições de fronteira homogêneas, e uma distribuição inicial de temperatura dada por f ( x ) . Nesta alternativa temos que

f ( x ) = 3   c o s ( 8 π x 3 + π 2 ) - 3 c o s ( 8 π x 3 - π 2 ) + s e n ( 5 π x )

Como resolver isso? O caminho longo é utilizar o método de separação de variáveis e obter as soluções fatoradas avaliando as condições de fronteira e iniciais, mas, este problema já bem conhecido, então vamos usar o resultado

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x L ) e - α 2 π 2 n 2 t L 2

e, então, encontrar os parâmetros b n usando as condições iniciais! Se tiver dúvidas de como resolver a expressão acima, no próprio site do responde aí ela está demonstrada em diversos exercícios e na própria sessão de equação de calor homogênea, dá uma checada lá, belezinha? Vamo que vamo!

Passo 2

Usando os dados do problema, temos que a nossa solução pode ser escrita como

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x 3 ) e - 2 π 2 n 2 t 9

se avaliarmos as condições iniciais, temos que

f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x 3 ) = u ( x , 0 )

Usando a distribuição inicial dada pelo enunciado obtemos

3   c o s ( 8 π x 3 + π 2 ) - 3 c o s ( 8 π x 3 - π 2 ) + s e n ( 5 π x ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x 3 )

nós queremos comparar os dois lados, para isso vamos precisar reescrever a nossa distribuição inicial! Vamos lá!

Passo 3

Usando que

c o s ( a + b ) = c o s ( a ) c o s ( b ) - s e n ( a ) s e n ( b )

podemos identificar comparando com

c o s ( 8 π x 3 + π 2 )

que a = 8 π x 3 e b = π 2 , portanto a nossa expressão se torna

c o s ( 8 π x 3 + π 2 ) = c o s ( 8 π x 3 ) c o s ( π 2 ) - s e n ( 8 π x 3 ) s e n ( π 2 ) = - s e n ( 8 π x 3 )

da mesma forma, podemos escrever que

c o s ( 8 π x 3 - π 2 ) = c o s ( 8 π x 3 ) c o s ( - π 2 ) - s e n ( 8 π x 3 ) s e n ( - π 2 ) = s e n ( 8 π x 3 )

usando a paridade do seno. A nossa condição inicial pode ser então reescrita como

- 3   s e n ( 8 π x 3 ) - 3 s e n ( 8 π x 3 ) + s e n ( 5 π x ) = - 6   s e n ( 8 π x 3 ) + s e n ( 5 π x ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x 3 )

note que comparando o lado esquerdo e direito, temos que os coeficientes não nulos são n = 8 e n = 15 , e portanto, podemos identificar que

b 8 = - 6 e b 15 = 1

assim como todos os outros coeficientes são zero. A nossa solução se torna então

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x 3 ) e - 2 π 2 n 2 t 9 = - 6 s e n ( 8 π x 3 ) e - 128 π 2 t 9 + s e n ( 5 π x ) e - 450 π 2 t 9

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = - 6 s e n ( 8 π x 3 ) e - 128 π 2 t 9 + s e n ( 5 π x ) e - 450 π 2 t 9

Exercícios de Livros Relacionados

A equação de onda em coordenadas polares é Mostre que, se u(r, q, t) = R(r)Θ(q,)T(t), então R, Θ e T satisfazem as equações diferenciais ordinárias
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) é independente de θ, então a primeira equação no item (a) permanece inalterada, a segunda é omitida e a
A equaçãoé uma generalização da equação de Laplace, algumas vezes denominada equação de Helmholtz.Considere a equação de Helmholtz no disco r
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se definirmos uma nova variável independente por s = cos φ, então a equação para Φ no item (b) fica
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) = P(ρ)Θ(θ)Φ(φ), então P, Θ e Φ satisfazem equações diferenciais ordinárias da forma.A primeira dessas e