Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir:

b )   ∂ z y x 3 u = 1 ,     u = u ( x , y , z )

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão recebemos uma equação diferencial parcial (EDP), envolvendo uma função u de três variáveis: x e y . A EDP é dada por:

∂ z y x 3 u = 1

O problema nos pede pra determinar a solução geral dessa equação.

Gente, quando queremos determinar uma solução geral, estamos mais preocupados com o formato da equação. Isto é, talvez a gente não vá conseguir determinar apenas uma função em específico que atenda à EDP dada (até porque isso não é possível, pois faltam informações como condições iniciais e condições de fronteira).

Mas, iremos determinar um conjunto de soluções possíveis que chamamos de solução geral. Sacaram?

Nessa equação, a ideia principal é integrarmos em relação a cada uma das variáveis dos dois lados da EDP dada, até conseguirmos isolar u x , y , z .   Como teremos uma integral indefinida precisaremos analisar quem deve ser a constante gerada.

Vem comigo que vai ficar mais claro 😉

Passo 2

Bom, a EDP dada é:

∂ z y x 3 u = 1

Ou seja, temos uma derivada parcial mista de terceira ordem. Derivamos em relação a z , o resultado derivamos em relação a y , e o resultado dessas operações derivamos em relação a x .

Sendo assim, pra descobrirmos a solução geral u ( x , y , z ) iremos fazer o processo inverso a esse.

Integrando em relação a x , temos:

d ∂ z y u d x = 1

∴ ∂ z y u = ∫ d x + C

Esse C é uma constante em relação à variável de integração x . Sendo assim, dizemos que C é uma função de y e z , pois essas variáveis independem de y , e são constantes em relação a d x .

Daí:

∂ z y u = x + h ( y , z )

Massa!

Integrando novamente, agora em relação a y , vem que:

∂ z u = ∫ x d y + ∫ h y , z d y

Sobre a integral:

∫ h y , z d y

Não temos informações suficientes pra determinar o seu resultado, sabemos apenas que continuará sendo uma função de y e z . Assim, vamos continuar chamando essa função de h ( y , z ) .

Substituindo na nossa equação, temos:

∂ z u = x y + h y , z + C

Analogamente, essa constante C não pode ser uma função de y , portanto dizemos que:

C = f ( x , z )

Logo:

∂ z u = x y + h y , z + f ( x , z )

Integrando agora com relação a z , vem:

u x , y , z =   ∫ x y d z + ∫ h ( y , z ) d z + ∫ f x , z d z

Bom, às integrais de h ( y , z ) e f ( x , z ) aplica-se o mesmo raciocínio. Não sabemos quem são as funções primitivas, mas sabemos que elas são funções de ( y , z ) e ( x , z ) acrescidas de uma constante. Por isso, vamos continuar chamando essas funções de h ( y , z ) e f ( x , z ) pois elas representam funções genéricas.

Resolvendo também a primeira integral, vamos ter que:

u x , y , z = x y z + h y , z + f x , z + C

Novamente, essa constante só não pode ser uma função de z , que foi a variável de integração. Mas, podemos tranquilamente ter C como uma função de ( x , y ) . Assim:

u x , y , z = x y + h y , z + f x , z + g ( x , y )

Realmente, essa solução é bem geralzona. Mas, pelas poucas informações que nos foram dadas, é o que podemos afirmar 😊

Então é isso galera, muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😉

Resposta

u x , y , z = x y + h y , z + f x , z + g ( x , y )

Exercícios de Livros Relacionados

A equação de onda em coordenadas polares é Mostre que, se u(r, q, t) = R(r)Θ(q,)T(t), então R, Θ e T satisfazem as equações diferenciais ordinárias
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) é independente de θ, então a primeira equação no item (a) permanece inalterada, a segunda é omitida e a
A equaçãoé uma generalização da equação de Laplace, algumas vezes denominada equação de Helmholtz.Considere a equação de Helmholtz no disco r
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se definirmos uma nova variável independente por s = cos φ, então a equação para Φ no item (b) fica
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) = P(ρ)Θ(θ)Φ(φ), então P, Θ e Φ satisfazem equações diferenciais ordinárias da forma.A primeira dessas e