UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 3b
Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir:
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Nessa questão recebemos uma equação diferencial parcial (EDP), envolvendo uma função de três variáveis: e . A EDP é dada por:
O problema nos pede pra determinar a solução geral dessa equação.
Gente, quando queremos determinar uma solução geral, estamos mais preocupados com o formato da equação. Isto é, talvez a gente não vá conseguir determinar apenas uma função em específico que atenda à EDP dada (até porque isso não é possível, pois faltam informações como condições iniciais e condições de fronteira).
Mas, iremos determinar um conjunto de soluções possíveis que chamamos de solução geral. Sacaram?
Nessa equação, a ideia principal é integrarmos em relação a cada uma das variáveis dos dois lados da EDP dada, até conseguirmos isolar Como teremos uma integral indefinida precisaremos analisar quem deve ser a constante gerada.
Vem comigo que vai ficar mais claro 😉
Passo 2
Bom, a EDP dada é:
Ou seja, temos uma derivada parcial mista de terceira ordem. Derivamos em relação a , o resultado derivamos em relação a , e o resultado dessas operações derivamos em relação a .
Sendo assim, pra descobrirmos a solução geral iremos fazer o processo inverso a esse.
Integrando em relação a , temos:
Esse é uma constante em relação à variável de integração . Sendo assim, dizemos que é uma função de e , pois essas variáveis independem de , e são constantes em relação a .
Daí:
Massa!
Integrando novamente, agora em relação a , vem que:
Sobre a integral:
Não temos informações suficientes pra determinar o seu resultado, sabemos apenas que continuará sendo uma função de e . Assim, vamos continuar chamando essa função de .
Substituindo na nossa equação, temos:
Analogamente, essa constante não pode ser uma função de , portanto dizemos que:
Logo:
Integrando agora com relação a , vem:
Bom, às integrais de e aplica-se o mesmo raciocínio. Não sabemos quem são as funções primitivas, mas sabemos que elas são funções de e acrescidas de uma constante. Por isso, vamos continuar chamando essas funções de e pois elas representam funções genéricas.
Resolvendo também a primeira integral, vamos ter que:
Novamente, essa constante só não pode ser uma função de , que foi a variável de integração. Mas, podemos tranquilamente ter como uma função de . Assim:
Realmente, essa solução é bem geralzona. Mas, pelas poucas informações que nos foram dadas, é o que podemos afirmar 😊
Então é isso galera, muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😉