Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 3b

Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir:

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão recebemos uma equação diferencial parcial (EDP), envolvendo uma função de três variáveis: e . A EDP é dada por:

O problema nos pede pra determinar a solução geral dessa equação.

Gente, quando queremos determinar uma solução geral, estamos mais preocupados com o formato da equação. Isto é, talvez a gente não vá conseguir determinar apenas uma função em específico que atenda à EDP dada (até porque isso não é possível, pois faltam informações como condições iniciais e condições de fronteira).

Mas, iremos determinar um conjunto de soluções possíveis que chamamos de solução geral. Sacaram?

Nessa equação, a ideia principal é integrarmos em relação a cada uma das variáveis dos dois lados da EDP dada, até conseguirmos isolar Como teremos uma integral indefinida precisaremos analisar quem deve ser a constante gerada.

Vem comigo que vai ficar mais claro 😉

Passo 2

Bom, a EDP dada é:

Ou seja, temos uma derivada parcial mista de terceira ordem. Derivamos em relação a , o resultado derivamos em relação a , e o resultado dessas operações derivamos em relação a .

Sendo assim, pra descobrirmos a solução geral iremos fazer o processo inverso a esse.

Integrando em relação a , temos:

Esse é uma constante em relação à variável de integração . Sendo assim, dizemos que é uma função de e , pois essas variáveis independem de , e são constantes em relação a .

Daí:

Massa!

Integrando novamente, agora em relação a , vem que:

Sobre a integral:

Não temos informações suficientes pra determinar o seu resultado, sabemos apenas que continuará sendo uma função de e . Assim, vamos continuar chamando essa função de .

Substituindo na nossa equação, temos:

Analogamente, essa constante não pode ser uma função de , portanto dizemos que:

Logo:

Integrando agora com relação a , vem:

Bom, às integrais de e aplica-se o mesmo raciocínio. Não sabemos quem são as funções primitivas, mas sabemos que elas são funções de e acrescidas de uma constante. Por isso, vamos continuar chamando essas funções de e pois elas representam funções genéricas.

Resolvendo também a primeira integral, vamos ter que:

Novamente, essa constante só não pode ser uma função de , que foi a variável de integração. Mas, podemos tranquilamente ter como uma função de . Assim:

Realmente, essa solução é bem geralzona. Mas, pelas poucas informações que nos foram dadas, é o que podemos afirmar 😊

Então é isso galera, muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😉

Resposta

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