UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 4
Verifique que as funções , , , são soluções da equação de Laplace bidimensional . Construa quatro novas soluções desta equação usando o Princípio de Superposição.
Passo 1
Oiie, tudo bem com você?
O enunciado nos dá quatro funções
, , e
e pede para verificarmos que elas são solução da equação
ou seja, precisamos derivar as soluções e substituí-las na equação, de forma a verificar se elas respeitam a igualdade. Ele também pede para construirmos novas soluções usando o princípio da superposição, o princípio da superposição diz o seguinte
“Se temos duas soluções linearmente independentes de uma equação diferencial, toda combinação linear destas soluções é uma nova solução da mesma equação diferencial”
Maravilha! Vamos usar isso para resolver o nosso problema! Vem comigo!
Passo 2
A primeira coisa a se lembrar é que derivadas parciais consideram qualquer variável que não esteja sendo derivada como constante, e como derivadas de constantes é sempre zero, podemos dizer, por exemplo, que
de forma que também temos que
continuando com as derivadas da primeira solução, podemos usar a regra do tombo
de forma que
e, como a primeira derivada é constante, temos que
Portanto, essa é uma solução, já que
Vamos fazer um processo análogo para as outras três soluções! Vem comigo!
Passo 3
Usando agora a segunda solução, temos que a primeira derivada em relação a , é
já que é tomado como constante, temos então usando a regra do tombo que
como o resultado não depende de , temos então que
Da mesma forma para as derivadas em relação a temos que
e, portanto, temos que
E, então temos que
Vamos analisar agora a terceira solução! Saca só!
Passo 4
Usando agora a terceira solução, temos que a primeira derivada em relação a , é
já que é tomado como constante, temos então usando a regra do tombo que
derivando novamente em relação a , temos que
Da mesma forma para as derivadas em relação a temos que
e, portanto, temos que
E, então temos que
Portanto, temos que esta também é uma solução! Vamos para a última!
Passo 5
Derivando em relação a pela primeira vez temos que
lembrando a derivada da exponencial como
analogamente, se derivarmos novamente, temos que
Agora, vamos derivar em relação a , a primeira derivada é tal que
a derivada do seno é tal que
ou seja, temos que a primeira derivada é da forma
Se derivarmos novamente precisaremos usar que
e, portanto, a segunda derivada é da forma
Ou seja, aplicando ambas as derivadas na equação diferencial
Maravilha! Vamos só escrever as outras soluções agora!
Passo 6
Pelo teorema da superposição qualquer combinação linear da quatro soluções também é solução, por exemplo, podemos fazer a combinação
também podemos fazer as combinações dois a dois
e
ou, da mesma forma
e
Todas as cinco soluções acima são soluções pelo princípio da superposição! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!