UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 14c
O problema a seguir
,
.
descreve a propagação do calor numa barra de comprimento cujas extremidades também foram isoladas termicamente.
Obtenha as soluções fatoradas que você precisaria usar para resolver esse problema usando o método de separação de variáveis.
Passo 1
Oiie, tudo bem?
O enunciado nos indica o seguinte problema de transferência de calor em uma barra
,
.
esta é uma barra de comprimento , com distribuição inicial de temperatura dada por e extremidades isoladas. Nas últimas alternativas encontramos que ao aplicar o método de separação de variáveis usando uma solução fatorada da forma
obtemos que a função deveria obedecer o problema de fronteira
em que e
e, a parte temporal uma equação diferencial de primeira ordem separável
obtemos também que nos resulta apenas na solução trivial . Assim como, temos que para , temos a solução trivial ou uma solução constante da forma
Vamos analisar agora o caso que resta, em que , de forma que temos soluções da forma
e, . Bora lá!
Passo 2
O que falta encontrar tendo em vista o que fizemos nas alternativas anteriores, é a parte temporal dessa solução e aplicar as condições iniciais, temos que
é o problema que nos resta já que . Separando as variáveis e integrando em ambos os lados, podemos obter para esta função que
e, portanto, temos que
ou usando os possíveis valores para
Vamos usar isso para escrever a nossa solução geral!
Passo 3
Juntando as nossas partes fatoradas, temos que
aqui representa ambas as constantes apresentadas anteriormente. Mas, essa é uma possibilidade para um específico, como essa equação diferencial é linear, temos que a superposição de todas as soluções também é solução, e portanto, em geral, temos que
Se aplicarmos agora a condição inicial
de forma que podemos identificar os coeficientes como os coeficientes de cosseno da série de Fourier
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!