Encontre todas as soluções u da forma u(x, y) = X(x) Y(y) do problema:

x^2 * y^2 * u_xy = x^2 * u_x + y^2 * u_y, x > 0, y > 0

Passo 1

Lembrando então que:

u x y = X ' x Y ' ( y )

u x = X ' x Y y

u y = X x Y ' ( y )

Substituindo na equação, temos:

x 2 y 2 X ' Y ' = x 2 X ' Y + y 2 X Y '

x 2 y 2 X ' Y ' - x 2 X ' Y = y 2 X Y '

x 2 X ' y 2 Y ' - Y = y 2 X Y '

x 2 X ' X =   y 2 Y ' y 2 Y ' - Y

Como o lado esquerdo é constante em y e o lado direito é constante em x, os dois são iguais a uma constante λ . Assim,

x 2 X ' X =   y 2 Y ' y 2 Y ' - Y =   λ

Passo 2

Vamos analisar a parte de x :

x 2 X ' X =   λ

X ' X =   λ x 2

ln ⁡ X x =   - 1 x   λ + C

X x = e C e - 1 x λ

X x = A e - 1 x λ

Onde A e C são constantes

Passo 3

Agora, em y, temos:

y 2 Y ' 1 - λ =   - λ Y

Y ' Y =   λ λ - 1   1 y 2

ln ⁡ Y y =   - 1 y   λ λ - 1 + k

Portanto, Y y = B e - 1 y   λ λ - 1 onde B e K são constantes.

Logo,

u x , y = C e - 1 x   λ e - 1 y   λ λ - 1 , onde C é uma constante

Resposta

u x , y = C e - 1 x   λ e - 1 y   λ λ - 1

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