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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Prof° Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 11e

Considere a equação

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

e ) Prove que u = c 1 u 1 + c 2 u 2 será solução somente se c 1 = 0 ou c 2 = 0 .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos dá a seguinte EDP não-linear

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = 0 .

e, pede para que mostremos que a seguinte função

u = c 1 u 1 + c 2 u 2

só é solução quando c 1 = 0 ou c 2 = 0 . Na última alternativa fizemos um processo parecido para u = u 1 + u 2 , caso em que c 1 = c 2 = 1 . Vamos fazer a mesma coisa aqui agora, mas com os parâmetros gerais! Saca só!

Passo 2

Começando com a função

u = c 1 u 1 + c 2 u 2

a derivada em relação a x é dada por

∂ x u = ∂ x [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ]

e, a derivada em relação a y é dada por

∂ y u = ∂ y [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ]

substituindo os resultados em nossa equação diferencial, obtemos

∂ x [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] ∂ y [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] - ( c 1 u 1 + c 2 u 2 ) ( ∂ x [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] + ∂ y [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] ) + ( c 1 u 1 + c 2 u 2 ) 2 = 0

que pode ser expandido como

∂ x [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] ∂ y [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] - ( c 1 u 1 + c 2 u 2 ) ∂ x [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] - ( c 1 u 1 + c 2 u 2 ) ∂ y [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] + ( c 1 u 1 + c 2 u 2 ) 2 = 0

ou o seguinte produto notável

[ ∂ x ( c 1 u 1 + c 2 u 2 ) - ( c 1 u 1 + c 2 u 2 ) ] [ ∂ y [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] - ( c 1 u 1 + c 2 u 2 ) ] = 0

usando u = c 1 u 1 + c 2 u 2 como a sugestão nos indica, temos então que

∂ x u ∂ y u - u ( ∂ x u + ∂ y u ) + u 2 = [ ∂ x u - u ] [ ∂ y u - u ] .

Mas e como isso nos ajuda? Vem comigo!

Passo 3

Observando o resultado anterior temos a solução apenas quando

∂ x u = u ou ∂ y u = u

Se integrarmos ambos os lados parcialmente, obtemos

u ( x , y ) = e x + f ( y ) ou u ( x , y ) = e y + g ( x )

substituindo em nossa equação diferencial, obtemos que

[ ∂ x u - u ] [ ∂ y u - u ] = [ e x - e x - f ( y ) ] [ f ' ( y ) - e x - f ( y ) ] = f ( y ) [ e x - f ' ( y ) + f ( y ) ]

ou seja, a solução só é possível se

f ( y ) = 0

Ou se

e x = f ' ( y ) - f ( y )

para que f ' ( y ) = f ( y ) , é preciso que

f ( y ) = e y + C

forçando que

e x = C

Uma função de x não pode ser uma constante já que x é uma variável. Vamos tentar aplicar isso de forma a mostrar que precisamos que uma das constantes seja nula.

Passo 4

O nosso problema se resume, pois temos que a seguinte relação deve ser verdade

u ( x , y ) = e x + f ( y ) = c 1 u 1 + c 2 u 2

se tomarmos que f ( y ) = 0 , então temos que

e x = c 1 u 1 + c 2 u 2

ou u 1 = u 2 = e x e, temos na verdade apenas o sistema

( c 1 + c 2 ) u 1 = c u 1

que não é uma superposição. Ou temos que

c 1 = 0 ou c 2 = 0

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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