UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 3a
Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir:
Passo 1
Faaaala galerinha do bem, tudo certo por aí?
Nessa questão recebemos uma equação diferencial parcial (EDP), envolvendo uma função de duas variáveis: e . A EDP é dada por:
O problema nos pede pra determinar a solução geral dessa equação.
Gente, quando queremos determinar uma solução geral, estamos mais preocupados com o formato da equação. Isto é, talvez a gente não vai conseguir determinar apenas uma função em específico que atenda à EDP dada (até porque isso não é possível, pois faltam informações como condições iniciais e condições de fronteira).
Mas, iremos determinar um conjunto de soluções possíveis que chamamos de solução geral. Sacaram?
Nessa equação, a ideia principal é integrarmos em dos dois lados da EDP dada. Como teremos uma integral indefinida precisaremos analisar quem deve ser a constante gerada.
Vem comigo que vai ficar mais claro 😉
Passo 2
Bom, como comentamos no passo anterior, vamos integrar a equação dos dois lados. Temos:
Integrando, vem que:
onde é uma constante em relação a variável de integração .
Ou seja, imagina que fôssemos derivar parcialmente em relação a o resultado da equação acima (que foi o que o enunciado nos deu: ).
Sendo uma função apenas de , sua derivada parcial com relação a seria nula, pois para ela é uma constante. Logo, na realidade, podemos afirmar que:
E, não conseguimos extrair mais informações sobre (é nesse contexto que falamos de solução geral).
Bom, voltando para a nossa equação, temos:
Resolvendo a primeira integral:
Agora resolvendo a segunda integral:
Juntando tudo, vem:
Prontinho galera! Essa é a solução geral da nossa EDP.
Conseguiram entender direitinho? Responde Aí!