UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 30a
Considere o problema
ED
CF
CI
Onde é uma constante real.
Encontre a solução deste problema.
Passo 1
E aí gente, tudo certinho com vocês?
Nessa questão temos uma variação do famoso problema da equação da condução de calor.
Aqui nossa EDP mudou um pouquinho a cara, pois temos um termo aparecendo na nossa equação.
Além disso, recebemos as condições de fronteira que equivalem à ambas as extremidades estarem com a temperatura nula em todo o tempo.
Por fim, as nossas condições iniciais são dadas como:
Então galera, a ideia geral permanece a mesma. Vamos usar o método da separação de variáveis, chamando:
Beleza? Então vamo nessa!
Passo 2
Temos pela EDP:
Usando que:
Ficamos com:
Logo:
A única forma dessas razões serem iguais para qualquer valor de e de é se tivermos:
Daí, o nosso problema se reduz a resolver duas EDO’s:
E:
Começando pelo primeiro problema, temos:
Temos a seguinte equação característica:
Daí precisamos analisar os possíveis valores de :
- Se , então:
Testando as condições iniciais:
Logo:
Ou seja, nos deu a solução trivial, que não estamos interessados...
- Se , então:
Colocando as condições iniciais:
E:
Ou seja, também tempos apenas a solução trivial...
- Se , então:
Pela condição inicial:
Logo:
Como não queremos a solução trivial, devemos ter:
Daí, desconsiderando a constante , temos que as autofunções são:
Perfeito!
Passo 3
Então pessoal, podemos agora substituir os autovalores que encontramos no problema da EDO em :
Da primeira equação, já temos:
Daí, substituindo:
Temos:
Logo, lembrando que:
Temos:
Bom, esse que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em e à EDO em . Pela própria definição de autofunções, múltiplos dessa solução ou combinação lineares de soluções desse tipo também satisfazem às EDO’s.
É aí que entra a nossa solução formal, ela representa a forma geral de todas as soluções da nossa EDP.
Escrevemos:
Passo 4
Massa! Já encontramos a solução formal, mas ainda temos um pequeno problema...
Não usamos a condição:
em nenhum momento da solução. Então, a solução formal que encontramos ainda precisa atender também a essa condição. Daí, fazendo na solução formal, encontramos:
Isso lembra algo a vocês?
É como se tivéssemos uma função:
E, quiséssemos encontrar a série de Fourier dela apenas em senos.
Uaaaau, essa sacada é boa né? Vale a pena anotar haha
Daí, quem seriam os coeficientes ? Seriam justamente os coeficientes da nossa expansão de em série de Fourier.
Mas, antes de calcularmos precisamos expandir o intervalo de de modo que ela seja ímpar e periódica de período
Tranquilo, então como queremos que seja ímpar e periódica podemos defini-la como:
onde é periódica de período .
Ou seja:
Logo, temos que:
Massa! Então vamos matar essas duas integrais!
Começando por:
Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:
Assim, fazendo:
Logo, temos:
Daí, vamos analisar. Como , temos que:
Ficamos só com o primeiro termo:
Daí, quando tivermos:
Podemos escrever:
Beleza! A primeira integral já morreu 😊
Passo 5
Agora a segunda integral:
Para resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes.
No caso da nossa integral, vamos chamar:
Assim:
O problema é que essa segunda integral também precisa ser calculada usando o método de integração por partes, daí fazendo:
Temos:
Como , temos que:
Assim:
Beleza, substituindo isso na nossa equação principal do cálculo da integral, temos:
Beleza! Matamos as duas integrais...
Então, substituindo em :
Daí:
- Se é par:
- Se é ímpar:
Excelente! Finalmente substituindo na solução formal que havíamos achado, temos que:
Essa é a solução para a EDP dada que atende tanto às condições de fronteira como às condições iniciais!!
UFAAAA!! Conseguimos!!!
Curtiram a solução? Responde Aí!