Considere o problema

ED u_t - u_xx - h*u = 0, 0 < x < pi, t > 0;

CF u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t ≥ 0;

CI u(x, 0) = x * (π - x), 0 ≤ x ≤ π

Onde h é uma constante real.

b A condição inicial é satisfeita?

Passo 1

Fala aí gente bonita, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos uma variação do famoso problema da equação da condução de calor.

Aqui nossa EDP mudou um pouquinho a cara, pois temos um termo - h u aparecendo na nossa equação.

Além disso, recebemos as condições de fronteira que equivalem à ambas as extremidades estarem com a temperatura nula em todo o tempo.

Por fim, as nossas condições iniciais são dadas como:

u x , 0 = x ( π - x )

No item anterior, usamos o método da separação de variáveis para resolvê-lo. Após encontrarmos a solução formal, calculamos os coeficientes que satisfazem à condição inicial CI, expandindo a função:

u x , 0 = x ( π - x )

em sua série de Fourier.

Assim, encontramos a seguinte solução para o problema:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ 8 n 3 π ⋅ e h - n 2 t ⋅ s e n n x

Nesse item, o enunciado nos pergunta se a condição inicial:

u x , 0 = x ( π - x )

foi satisfeita.

Pra ela ser satisfeita, precisa ser obedecida em todos os pontos x . Assim, vamos verificar se, através da solução encontrada, vale que:

u x , 0 = x π - x ,         0 ≤ x ≤ π

Usando inclusive a definição da extensão ímpar e periódica de u ( x , 0 ) que definimos no item anterior.

Vem comigo que vai ficar bem clarinho 😊

Passo 2

Bom, como estávamos comentando encontramos que:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ 8 n 3 π ⋅ e h - n 2 t ⋅ s e n n x

Se colocarmos t = 0 nessa equação, teremos:

u x , 0 =   ∑ n = 1 ∞ 8 n 3 π ⋅ s e n n x

Como vimos no item anterior, essa é exatamente a expansão em série de Fourier da função definida como:

h x = x π + x ,     - π ≤ x ≤ 0 x π - x ,     0 ≤ x ≤ π

O mais importante de observar aqui é que essa definição mantém inalterados todos os valores no intervalo [ 0 , π ] de:

u x , 0 = x ( π - x )

Como assim “inalterados”?

Então galera, é que muitas vezes quando vamos fazer a extensão ímpar e periódica de uma função (algo que fizemos para u ( x , 0 ) no item anterior), precisamos alterar o valor que ela assume em pontos específicos, principalmente nas extremidades do intervalo.

Isso acontece para que ela possa de fato ser ímpar, e também para que a sua periodicidade fique bem encaixada.

Por exemplo, em h ( 0 ) a função precisa ser nula. Caso contrário, quando caminharmos 2 L em x , pelo domínio teremos um ponto x 0 que não satisfaz:

h x 0 = h ( 0 )

E:

h x 0 = - h ( -   x 0 )

simultaneamente.

Tão conseguindo acompanhar?

Mas, ainda bemmm, que na nossa função, quando fazemos:

h 0 = 0 ⋅ π - 0

= 0

E, quando observamos a outra extremidade do domínio, temos:

h π = π ⋅ π - π

= 0

Sendo assim, concluímos que a condição inicial é satisfeita em todos os pontos no intervalo [ 0 , π ] , e, portanto, dizemos que ela é satisfeita!

É isso gente! Espero que vocês tenham entendido.

Até a próxima 😊

Resposta

É satisfeita.

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