UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 30b
Considere o problema
ED
CF
CI
Onde é uma constante real.
A condição inicial é satisfeita?
Passo 1
Fala aí gente bonita, tudo certinho com vocês?
Nessa questão temos uma variação do famoso problema da equação da condução de calor.
Aqui nossa EDP mudou um pouquinho a cara, pois temos um termo aparecendo na nossa equação.
Além disso, recebemos as condições de fronteira que equivalem à ambas as extremidades estarem com a temperatura nula em todo o tempo.
Por fim, as nossas condições iniciais são dadas como:
No item anterior, usamos o método da separação de variáveis para resolvê-lo. Após encontrarmos a solução formal, calculamos os coeficientes que satisfazem à condição inicial CI, expandindo a função:
em sua série de Fourier.
Assim, encontramos a seguinte solução para o problema:
Nesse item, o enunciado nos pergunta se a condição inicial:
foi satisfeita.
Pra ela ser satisfeita, precisa ser obedecida em todos os pontos . Assim, vamos verificar se, através da solução encontrada, vale que:
Usando inclusive a definição da extensão ímpar e periódica de que definimos no item anterior.
Vem comigo que vai ficar bem clarinho 😊
Passo 2
Bom, como estávamos comentando encontramos que:
Se colocarmos nessa equação, teremos:
Como vimos no item anterior, essa é exatamente a expansão em série de Fourier da função definida como:
O mais importante de observar aqui é que essa definição mantém inalterados todos os valores no intervalo de:
Como assim “inalterados”?
Então galera, é que muitas vezes quando vamos fazer a extensão ímpar e periódica de uma função (algo que fizemos para no item anterior), precisamos alterar o valor que ela assume em pontos específicos, principalmente nas extremidades do intervalo.
Isso acontece para que ela possa de fato ser ímpar, e também para que a sua periodicidade fique bem encaixada.
Por exemplo, em a função precisa ser nula. Caso contrário, quando caminharmos em , pelo domínio teremos um ponto que não satisfaz:
E:
simultaneamente.
Tão conseguindo acompanhar?
Mas, ainda bemmm, que na nossa função, quando fazemos:
E, quando observamos a outra extremidade do domínio, temos:
Sendo assim, concluímos que a condição inicial é satisfeita em todos os pontos no intervalo , e, portanto, dizemos que ela é satisfeita!
É isso gente! Espero que vocês tenham entendido.
Até a próxima 😊
Resposta
É satisfeita.