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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 8c

Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer as funções X   e   T para obtermos soluções fatoradas da forma u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) .

d 2 t u = c 2 d 2 x u ;   c > 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDP. Nosso objetivo é encontrar as soluções da forma u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) para a função

d 2 t u = c 2 d 2 x u ;   c > 0

Lembram como fazemos isso? Substituímos a nossa u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) e suas derivadas parciais na equação diferencial. Vamos nessa

Passo 2

Bem, vamos olhar a nossa equação

d 2 t u = c 2 d 2 x u ;   c > 0

Vamos calcular as derivadas parciais de u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t ) , e depois substituir na equação acima.

d 2 d t 2 u ( x ,   t )   = X ( x ) T ' ' ( t )

d 2 d x 2 u ( x ,   t )   = X ' ' ( x ) T ( t )

Passo 3

Agora que temos a nossas derivadas parciais, fazemos a substituição em

d 2 t u = c 2 d 2 x u ;   c > 0

Fazendo isso obtemos

X ( x ) T ' ' ( t ) = c 2 X ' ' ( x ) T ( t )

Isolando X e T

c 2 X ' ' ( x ) X ( x ) = T ' ' ( t ) T ( t )

Bem, temos duas equações em variáveis distintas que são sempre iguais. Isso quer dizer que essas funções são uma constante c . Então teríamos as seguintes EDO´s

T ' ' ( t ) T ( t ) = k

c 2 X ' ' ( x ) X ( x ) = k

Ou seja, terminamos a questão. Pois o enunciado não pede para resolver, ele pede para encontrarmos as EDO´s que devem satisfazer X ( x )   e   T ( t ) para termos uma solução da forma

u ( x ,   t )   =   X ( x ) T ( t )

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão 🙂, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento Acima

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