Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 5b

Se e são soluções da equação do calor, como você poderia construir infinitas soluções dessa equação usando as soluções acima?

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão, inicialmente recebemos duas funções:

que são ditas serem soluções da equação do calor:

Sabendo dessas informações, nesse item precisamos construir infinitas soluções da EDP, partindo das duas funções dadas. Vocês têm alguma ideia de como fazer isso?

Então, precisamos utilizar o princípio da superposição, que também utilizamos pra construir as soluções formais nas outras equações diferenciais.

Vem comigo que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Então gente, nós sabemos que cada uma dessas funções, e são soluções individualmente da nossa equação.

Se multiplicássemos cada uma dessas funções por uma constante , ainda teríamos que:

seriam soluções da EDP. Pois, sabemos que nas derivadas podemos colocar a constante pra fora. Então, no caso de , por exemplo, teríamos:

O mesmo vale para .

Mas, além disso, também sabemos que quando somamos duas funções, a derivada da soma, é a soma das derivadas. Então, poderíamos escrever a função:

E, se substituíssemos na EDP também teríamos:

Assim, para escrever infinitas soluções da EDP podemos dizer que:

onde . Sempre será solução dessa EDP, portanto, tomando diferentes coeficientes e teremos infinitas soluções para a equação do calor dada.

E aí, conseguiram entender direitinho? Responde Aí! 😉

Resposta

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