Se u(x, t) = x e v(x, t) = x^2 + 2t são soluções da equação do calor, como você poderia construir infinitas soluções dessa equação usando as soluções acima?

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão, inicialmente recebemos duas funções:

u x , t = x v x , t = x 2 + 2 t

que são ditas serem soluções da equação do calor:

u t - u x x = 0

Sabendo dessas informações, nesse item precisamos construir infinitas soluções da EDP, partindo das duas funções dadas. Vocês têm alguma ideia de como fazer isso?

Então, precisamos utilizar o princípio da superposição, que também utilizamos pra construir as soluções formais nas outras equações diferenciais.

Vem comigo que vai ficar bem claro 😊

Passo 2

Então gente, nós sabemos que cada uma dessas funções, u ( x , t ) e v ( x , t ) são soluções individualmente da nossa equação.

Se multiplicássemos cada uma dessas funções por uma constante c , ainda teríamos que:

c ⋅ u ( x , t )

E:

c ⋅ v ( x , t )

seriam soluções da EDP. Pois, sabemos que nas derivadas podemos colocar a constante pra fora. Então, no caso de u , por exemplo, teríamos:

∂ c ⋅ u x , t ∂ t - ∂ 2 c ⋅ u x , t ∂ x 2 = c ⋅ u t - u x x

= 0

O mesmo vale para v .

Mas, além disso, também sabemos que quando somamos duas funções, a derivada da soma, é a soma das derivadas. Então, poderíamos escrever a função:

c 1 ⋅ u + c 2 ⋅ v

E, se substituíssemos na EDP também teríamos:

∂ c 1 ⋅ u + c 2 ⋅ v ∂ t - ∂ 2 c 1 ⋅ u + c 2 ⋅ v ∂ x 2 =

c 1 ⋅ u t - u x x + c 2 ⋅ v t - v x x = 0

Assim, para escrever infinitas soluções da EDP podemos dizer que:

w x , t = c 1 ⋅ x + c 2 ⋅ ( x 2 + 2 t )

onde c 1 , c 2 ∈ R . Sempre será solução dessa EDP, portanto, tomando diferentes coeficientes c 1 e c 2 teremos infinitas soluções para a equação do calor dada.

E aí, conseguiram entender direitinho? Responde Aí! 😉

Resposta

w x , t = c 1 ⋅ x + c 2 ⋅ x 2 + 2 t ,               c 1 , c 2 ∈ R

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