Equação de Laplace no Retângulo
Encontre a solução
Da equação diferencial com condições de contorno abaixo:
Passo 1
Vamos usar separação de variáveis aqui, de modo que escrevemos:
Assim:
E, substituindo na equação:
E, assim, podemos reescrever:
Passo 2
Assim, resolvemos o problema com a EDO na variável :
A sua equação característica dá:
Portanto:
Passo 3
Vamos olhar para as condições iniciais e de contorno. Como nem nem podem ser identicamente nulos, teremos:
Aplicando as condições em :
Desta forma, como , temos que
E, assim,
Desta forma, escrevemos que uma solução é
Passo 4
Para a variável :
Mas como :
E a equação característica dá:
Portanto:
Passo 5
Com a condição inicial de , teremos:
Portanto:
Que podemos escrever de forma genérica como
Passo 6
Combinando os resultados:
De modo que a solução geral é uma combinação linear dada por
Passo 7
Finalmente, sabemos que
Assim,
E reconhecemos os termos da série de Fourier como
Passo 8
Vamos usar aqui integração por partes:
Aplicando partes duas vezes na outra integral, olha no que dá:
Mas...
Então, substituindo:
Passo 9
E, depois de tanto trabalho, tá na hora de resolver as integrais definidas lá de cima!
Para a primeira:
E para a segunda:
Assim:
Passo 10
Hora das conclusões...
Vejamos: se é par (), a expressão dá . Se é ímpar (), a expressão dá .
Logo:
E, portanto:
Desta forma, fazendo o somatório em , tal que :
Resposta