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Exercícios Resolvidos de EDP’s gerais

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 2f

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

f )   u x , y = f x + y + g x - y ,     ∂ x 2 u - ∂ y 2 u = 0 ;   onde f e g são funções arbitrárias.

Passo 1

Faaaaala galerinha, como é que estão as coisas por aí?

Nessa questão recebemos a seguinte equação diferencial parcial:

∂ x 2 u - ∂ y 2 u = 0

onde c é uma constante.

E, precisamos comprovar que a função:

u x , y = f x + y + g x - y

é uma solução da EDP dada.

Pra fazer isso, poderíamos tentar resolver a EDP, mas isso seria bem complicado porque não temos as condições iniciais, nem de fronteira, então iríamos encontrar uma solução muito geral.

Como foi dada uma função pra verificarmos se ela é uma solução, podemos simplesmente substitui-la na EDP e verificar se a equação diferencial permanece válida.

E aí, tudo beleza? Sacaram a ideia?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos a EDP:

∂ x 2 u - ∂ y 2 u = 0

E, queremos substituir u pela função:

u x , y = f x + y + g x - y

Vamos começar derivando com relação a x . Temos:

∂ x u = ∂ f x + y + g x - y ∂ x

Como a derivada da soma é a soma das derivadas:

∂ f x + y + g x - y ∂ x = ∂ f x + y ∂ x + ∂ g x - y ∂ x

Pra fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. Vamos chamar:

p = x + y q = x - y

Assim:

∂ f x + y ∂ x = ∂ f p ∂ p ⋅ ∂ p ∂ x

= f ' x + y ⋅ ( 1 )

E, analogamente:

∂ g x - y ∂ x = ∂ g q ∂ q ⋅ ∂ q ∂ x

= g ' x - y ⋅ ( 1 )

Assim:

∂ f x + y + g x - y ∂ x = f ' x + y + g ' ( x - y )

Massa! Derivando mais uma vez, e também realizando a regra da cadeia, temos:

∂ x 2 u = f ' ' x + y ⋅ 1 + g ' ' x - y ⋅ ( 1 )

= f ' ' x + y + g ' ' ( x - y )

Vamos agora derivar a função dada com relação a y :

∂ y u = ∂ f x + y + g x - y ∂ y

Usando novamente a regra da cadeia, vamos ter:

∂ y u = f ' x + y ⋅ 1 + g ' x - y ⋅ ( - 1 )

Derivando mais uma vez, temos:

∂ y 2 u = ∂ f ' x + y ⋅ 1 + g ' x - y ⋅ - 1 ∂ y

= f ' ' x + y - g ' ' x - y ⋅ - 1

= f ' ' x + y + g ' ' ( x - y )

Excelente!

Passo 3

Agora, vamos substituir o resultado encontrado no lado esquerdo da nossa EDP:

∂ x 2 u - ∂ y 2 u = f ' ' x + y + g ' ' x - y - f ' ' x + y + g ' ' x - y

= 0

Portanto, o lado esquerdo da EDP realmente é igual à 0 quando a função u ( x , y ) é a função dada.

Logo, concluímos que u x , y = f x + y + g x - y

realmente é solução da EDP.

Uhuuul! Matamos essa questão 😉

Curtiram? Responde Aí!

Resposta

Resposta no texto.

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